Частица движется вдоль прямой по закону x=A + Bt + Ct3, где А=3 м, В=2,5 м/с, С=0,25 м/с3. Найти средние значения скорости и ускорения за интервал времени от t1=1 с до t2=6 с

Для решения данной задачи, нам необходимо найти среднее значение скорости и ускорения за интервал времени от \(t_1 = 1 \, \text{с}\) до \(t_2 = 6 \, \text{с}\).

Для начала, нам дано уравнение движения частицы:
\[x = A + Bt + Ct^3\]
где \(A = 3 \, \text{м}\), \(B = 2.5 \, \text{м/с}\) и \(C = 0.25 \, \text{м/с}^3\).

Для нахождения средней скорости, сначала мы должны найти \(x(t_1)\) и \(x(t_2)\), то есть положение частицы в моменты времени \(t_1\) и \(t_2\).

1. Найдем \(x(t_1)\):
\[x(t_1) = 3 + 2.5 \cdot 1 + 0.25 \cdot 1^3\]
\[x(t_1) = 3 + 2.5 + 0.25\]
\[x(t_1) = 5.75 \, \text{м}\]

2. Теперь найдем \(x(t_2)\):
\[x(t_2) = 3 + 2.5 \cdot 6 + 0.25 \cdot 6^3\]
\[x(t_2) = 3 + 15 + 0.25 \cdot 216\]
\[x(t_2) = 3 + 15 + 54\]
\[x(t_2) = 72 \, \text{м}\]

Теперь, имея положение частицы в начальный момент времени \(x(t_1) = 5.75 \, \text{м}\) и в конечный момент времени \(x(t_2) = 72 \, \text{м}\), мы можем найти среднюю скорость за данный интервал времени.
Средняя скорость вычисляется по формуле:
\[ \text{Средняя скорость} = \frac{\text{изменение позиции}}{\text{время}} \]

\[ \text{Средняя скорость} = \frac{x(t_2) - x(t_1)}{t_2 - t_1} \]

Вставляем значения:
\[ \text{Средняя скорость} = \frac{72 - 5.75}{6 - 1} \]

\[ \text{Средняя скорость} = \frac{66.25}{5} \]

\[ \text{Средняя скорость} = 13.25 \, \text{м/с} \]

Таким образом, средняя скорость за интервал времени от \(t_1 = 1 \, \text{с}\) до \(t_2 = 6 \, \text{с}\) равна \(13.25 \, \text{м/с}\).

Теперь перейдем к нахождению среднего значения ускорения за данный интервал времени.

Ускорение вычисляется как производная скорости по времени:
\[a = \frac{dv}{dt}\]

Дано уравнение движения частицы:
\[x = A + Bt + Ct^3\]

Мы можем найти скорость как производную положения по времени:
\[v = \frac{dx}{dt}\]

\[v = B + 3Ct^2\]

Теперь, для нахождения среднего значения ускорения, нам нужно вычислить изменение скорости за заданный интервал времени и разделить его на длину этого интервала.

1. Найдем \(v(t_1)\):
\[v(t_1) = 2.5 + 3 \cdot 0.25 \cdot 1^2\]
\[v(t_1) = 2.5 + 3 \cdot 0.25\]
\[v(t_1) = 2.5 + 0.75\]
\[v(t_1) = 3.25 \, \text{м/с}\]

2. Найдем \(v(t_2)\):
\[v(t_2) = 2.5 + 3 \cdot 0.25 \cdot 6^2\]
\[v(t_2) = 2.5 + 3 \cdot 0.25 \cdot 36\]
\[v(t_2) = 2.5 + 3 \cdot 0.25 \cdot 36\]
\[v(t_2) = 2.5 + 3 \cdot 9\]
\[v(t_2) = 2.5 + 27\]
\[v(t_2) = 29.5 \, \text{м/с}\]

Теперь, имея значения скорости в начальный момент времени \(v(t_1) = 3.25 \, \text{м/с}\) и в конечный момент времени \(v(t_2) = 29.5 \, \text{м/с}\), мы можем найти среднее значение ускорения за данный интервал времени.
Среднее значение ускорения также будет изменением скорости, деленным на длину интервала времени:

\[ \text{Среднее ускорение} = \frac{\text{изменение скорости}}{\text{время}} \]

\[ \text{Среднее ускорение} = \frac{v(t_2) - v(t_1)}{t_2 - t_1} \]

Вставляем значения:
\[ \text{Среднее ускорение} = \frac{29.5 - 3.25}{6 - 1} \]

\[ \text{Среднее ускорение} = \frac{26.25}{5} \]

\[ \text{Среднее ускорение} = 5.25 \, \text{м/с}^2 \]

Таким образом, среднее значение ускорения за интервал времени от \(t_1 = 1 \, \text{с}\) до \(t_2 = 6 \, \text{с}\) равно \(5.25 \, \text{м/с}^2\).