частица движется так, что ее радиус-вектор изменяется по
закону: r(t)= 7i+ 4tj +3t^2k (м). по какому закону изменяется вектор скорости v и вектор ускорения a частицы? найти модуль вектора скорости v в момент времени t = з с и перемещение тела ∆r за первые 4с
движения.

Добрый день! Давайте решим вместе эту задачу.

Для начала, нам дан закон движения частицы в виде радиус-вектора r(t) = 7i + 4tj + 3t^2k, где i, j и k - единичные векторы вдоль осей x, y и z соответственно.

Первый шаг - найти вектор скорости v частицы. Для этого нужно продифференцировать радиус-вектор по времени: v = dr(t)/dt. В нашем случае это будет:
v = d(7i + 4tj + 3t^2k)/dt = 4j + 6tk.

Теперь перейдем ко второму шагу - найдем вектор ускорения a частицы. Для этого продифференцируем вектор скорости v по времени: a = dv/dt. В нашем случае это будет:
a = d(4j + 6tk)/dt = 6k.

Теперь мы можем ответить на первую часть вопроса. Вектор скорости v частицы меняется пропорционально времени t и направлен вдоль оси y (вектор j). Вектор ускорения a частицы не зависит от времени и направлен вдоль оси z (вектор k).

Перейдем теперь ко второй части вопроса - найдем модуль вектора скорости v в момент времени t = 3 секунды. Для этого подставим значение времени в выражение для вектора скорости v:
v = 4j + 6tk = 4j + 6t(3)k = 4j + 18k.

Модуль вектора скорости v рассчитывается по формуле |v| = sqrt(vx^2 + vy^2 + vz^2), где vx, vy и vz - компоненты вектора скорости v по осям x, y и z соответственно. В нашем случае vx = 0, vy = 4 и vz = 18. Подставим эти значения в формулу:
|v| = sqrt((0)^2 + (4)^2 + (18)^2) = sqrt(0 + 16 + 324) = sqrt(340) м/с.

Теперь перейдем к третьей части вопроса - найдем перемещение тела ∆r за первые 4 секунды движения. Для этого нужно вычислить разность радиус-векторов r за конечный и начальный момент времени: ∆r = r(t2) - r(t1), где t1 и t2 - начальный и конечный моменты времени соответственно. В нашем случае t1 = 0 секунд и t2 = 4 секунды. Подставим эти значения в выражение для радиус-вектора r:
∆r = r(4) - r(0) = (7i + 4(4)j + 3(4)^2k) - (7i + 4(0)j + 3(0)^2k) = 7i + 16j + 48k - 7i = 16j + 48k.

Таким образом, перемещение тела ∆r за первые 4 секунды движения равно 16j + 48k метров.

Надеюсь, ответ был понятен! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!