.. Бесконечная диэлектрическая пластина толщиной а расположена в
наружном, перпендикулярном пластине, однородном электрическом поле с напряженностью E0 . Проницаемость пластины изменяется по некоторому закону
ε0 (x) , причем ε(0)=ε1 где x=0 находится на одной грани, а ось x направлена
перпендикулярно пластине от этой грани к другой. Какой вид должна иметь функция ε(x) , чтобы плотность объемных связанных зарядов изменялась по закону ρ=ρ'1/(1+αx)где ρ'1 и α сталые? Вне пластины ε=1

Дорогой ученик,

Чтобы ответить на данный вопрос, нам нужно использовать некоторые уравнения электростатики и закон Гаусса. Давайте начнем.

Поле, создаваемое диэлектрической пластиной, можно представить в виде двух слагаемых: поле E0, которое существует до пластины, и поле, создаваемое самой пластиной. Обозначим это поле как E1(x), где x - координата от одной грани пластины.

Используя закон Гаусса, мы можем записать, что поток электрического поля через площадку с площадью dS равен плотности объемного заряда, умноженной на проницаемость пространства. Таким образом, можно записать уравнение:

ε0 * E0 * dS + ε(x) * E1(x) * dS = ρ/ε0 * dS

где ε0 - проницаемость свободного пространства, ε(x) - проницаемость пластины в зависимости от координаты, E1(x) - поле, создаваемое самой пластиной, ρ - плотность объемных связанных зарядов.

Мы также можем записать, что E1(x) = - dε(x)/dx (отрицательная производная проницаемости пластины по координате).

Давайте выпишем это уравнение снова, используя полученные выше выражения:

ε0 * E0 + ε(x) * (- dε(x)/dx) = ρ/ε0

Если мы проинтегрируем это уравнение от 0 до x, получим:

ε0 * E0 * x - ∫ε(x) * dε(x) = ρ'(1/ε0) * ∫(1+αx)^(-1) dx

где ρ' = ρ/ε0 * (интеграл справа от уравнения представляет собой интеграл от ρ dx).

Теперь мы можем решить это уравнение, интегрируя его с обеих сторон и подставив значение ρ:

ε0 * E0 * x - (ε(x))^2 / 2 + const = ρ'1 * ln(1+αx)

где const - постоянная интегрирования.

Теперь мы можем найти проницаемость пластины ε(x), избавившись от постоянной const:

(ε(x))^2 = -2 * ε0 * E0 * x + 2 * ρ'1 * ln(1+αx)

ε(x) = sqrt(-2 * ε0 * E0 * x + 2 * ρ'1 * ln(1+αx))

Таким образом, функция проницаемости пластины должна иметь вид:

ε(x) = sqrt(-2 * ε0 * E0 * x + 2 * ρ'1 * ln(1+αx))

Это решение относительно сложное, поэтому важно понимать каждый шаг и быть внимательным при решении подобных задач.