5. На какой высоте от поверхности Земли сила тяготения, действующая на тело, уменьшится в k = 3 раза? Радиус Земли Rз = 6,4 × 10⁶ м

Для решения этого вопроса нам необходимо использовать формулу для вычисления силы тяготения:

F = G * (m1 * m2) / r²

где F - сила тяготения, G - гравитационная постоянная, m1 и m2 - массы объектов, на которые действует сила тяготения, r - расстояние между этими объектами.

В данном случае нам дано, что сила тяготения уменьшилась в 3 раза. То есть, можно записать соотношение:

F₂ = F₁ / k,

где F₂ - новое значение силы тяготения, F₁ - изначальное значение силы тяготения, k - коэффициент уменьшения.

Подставим выражения для F₁ и F₂ в формулу:

G * (m1 * m2) / r₂² = G * (m1 * m2) / r₁² / k,

где r₁ и r₂ - изначальное и новое расстояние соответственно.

Теперь мы можем исключить гравитационную постоянную G, так как она одинакова в обоих случаях, и упростить выражение:

(m1 * m2) / r₂² = (m1 * m2) / (r₁² * k).

Так как массы тел m1 и m2 неизвестны, их можно сократить:

1 / r₂² = 1 / (r₁² * k).

Теперь можно решить это уравнение относительно нового расстояния r₂:

r₂² = r₁² * k.

Возводим обе части уравнения в квадратный корень:

r₂ = sqrt(r₁² * k).

Таким образом, чтобы найти новое расстояние r₂, на котором сила тяготения уменьшится в k = 3 раза, нужно возвести изначальное расстояние от поверхности Земли до тела (Rз) в квадратный корень и умножить на коэффициент уменьшения:

r₂ = sqrt(Rз² * k) = sqrt((6,4 × 10⁶)² * 3) ≈ 11,09 × 10⁶ м.

Таким образом, сила тяготения уменьшится в 3 раза на высоте около 11,09 миллионов метров от поверхности Земли.