1. В результате комптоновского рассеяния на свободном электроне энергия гамма-фотона уменьшилась в три раза. Угол рассеяния фотона равен 60°. Найти кинетическую энергию и импульс электрона отдачи. До столкновения электрон покоился. 2. Частица находится в бесконечно глубокой одномерной потенциальной 32 яме шириной l в первом возбужденном состоянии. В каких точках ямы плотность вероятности обнаружения частицы максимальна, а в каких - минимальна?

1. Для решения этого вопроса, нам понадобится использовать законы сохранения энергии и импульса. Изначально, энергия гамма-фотона составляет Е, а после рассеяния она уменьшилась в три раза, то есть равна Е/3. По закону сохранения энергии, энергия гамма-фотона после рассеяния равна сумме его кинетической энергии и потенциальной энергии электрона: Е/3 = (m_e * c^2) + T_e где m_e - масса электрона, c - скорость света, T_e - кинетическая энергия электрона. Поскольку электрон изначально покоился, его кинетическая энергия перед рассеянием составляет ноль: T_e_до = 0 Таким образом, уравнение можно переписать в виде: Е/3 = m_e * c^2 + T_e Теперь найдем угол рассеяния фотона в радианах. Угол 60° равен π/3 в радианах. По закону сохранения импульса, импульс фотона после рассеяния равен сумме импульса фотона до рассеяния и импульса электрона: p_фотона_до = p_фотона_после + p_электрона Из геометрии рассеяния, можно сказать, что импульс фотона после рассеяния равен p_фотона_до*sin(угла рассеяния): p_фотона_до*sin(π/3) = p_фотона_после + p_электрона Теперь у нас есть два уравнения (1) и (2), и две неизвестные - T_e и p_электрона. Методом подстановки решим уравнения: (1) T_e = (Е/3) - (m_e * c^2) (2) p_фотона_до*sin(π/3) = p_фотона_после + p_электрона Теперь найденные значения можно подставить в первое уравнение и решить его относительно T_e: T_e = (Е/3) - (m_e * c^2) Импульс электрона отдачи равен найденному значению p_электрона. 2. Для решения этого вопроса, нам понадобится уравнение временной зависимости стационарного состояния в окружении одномерной потенциальной ямы. Уравнение временной зависимости для частицы, находящейся в одномерной потенциальной яме заданной шириной l, имеет вид: ψ(x, t) = A*sin(n*π*x/l)*e^(-i*E_n*t/h) где ψ - волновая функция, A - нормировочная постоянная, n - целое число, E_n - энергия состояния n, t - время, h - постоянная Планка, x - координата частицы. Плотность вероятности обнаружения частицы определяется как квадрат амплитуды волновой функции: |ψ|^2 = A^2*sin^2(n*π*x/l) Чтобы найти точки, в которых плотность вероятности максимальна и минимальна, мы можем проанализировать поведение функции sin^2(n*π*x/l). Для первого возбужденного состояния, n=1. Когда sin^2(n*π*x/l) равно максимуму, то sin(n*π*x/l) равно единице, а это происходит, когда аргумент функции, n*π*x/l, кратен π. То есть: n*π*x/l = m*π, где m - целое число Таким образом, максимальное значение плотности вероятности будет достигаться в точках, где: x = m*l/n Когда sin^2(n*π*x/l) равно минимуму, то sin(n*π*x/l) равно нулю, а это происходит, когда аргумент функции, n*π*x/l, кратен π/2. То есть: n*π*x/l = (2*m+1)*π/2, где m - целое число Таким образом, минимальное значение плотности вероятности будет достигаться в точках, где: x = (2*m+1)*l/2*n Итак, мы нашли точки, в которых плотность вероятности обнаружения частицы максимальна и минимальна в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме шириной l в первом возбужденном состоянии.