1.
на подвешенный к пружине груз массой 0,1 кг действует
сила с амплитудой 0,4 н. коэффициент сил сопротивления среды равен
0,3 кг/с, коэффициент пружины 4 н/м. найти частоту колебаний
силы, при которой в системе наступает резонанс, и величину
амплитуды при резонансе. записать дифференциальное уравнение колебаний груза и его решение в установившемся режиме.

Для решения данной задачи поступим следующим образом:

1. Найдём значение силы упругости пружины (Fп) по формуле Fп = k * х, где k - коэффициент пружины, х - смещение от положения равновесия. Подставляем известные значения: Fп = 4 * х.

2. Составим уравнение движения маятника с учетом всех действующих сил. Уравнение движения имеет вид: m * а = -k * х - с * V, где m - масса груза, а - ускорение, с - коэффициент силы сопротивления среды, V - скорость груза.

3. Найдем значение скорости груза (V) при резонансе, когда сила упругости пружины равна силе сопротивления среды, т.е. Fп = Fс. Подставляем известные значения: 4 * х = 0,3 * V.

4. Подставим значения Fп и V в уравнение движения и найдем значение ускорения. Уравнение примет вид: m * а = -4 * х - 0,3 * V. Подставляем известные значения: m * а = -4 * х - 0,3 * 0,4 * m.

5. Подставим значение ускорения в формулу для частоты колебаний (ω), где ω = √(к/m), где к - коэффициент жесткости пружины, m - масса груза. Подставляем известные значения: ω = √(4/0,1).

6. Решим уравнение второго порядка с помощью характеристического уравнения. Характеристическое уравнение имеет вид: ω^2 с - 0,3с - 4 = 0. Найдем корни данного уравнения: с = (0,3 ± √(0,3^2 + 4 * 4))/2.

7. Найдем величину амплитуды при резонансе. Подставим найденное значение скорости (V) в уравнение для энергии системы, где E = (1/2) * k * х^2 + (1/2) * m * V^2. Подставляем известные значения: (1/2) * 4 * х^2 + (1/2) * 0,1 * 0,4^2 = (1/2) * k * х^2 + (1/2) * m * V^2.

Таким образом, мы найдем значение частоты колебаний силы при резонансе и величину амплитуды при резонансе.