1) диск радиусом 24 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей
через середину радиуса перпендикулярно плоскости диска. определить
длину и период колебаний такого маятника.

2) определить координату x материальной точки относительно положения равновесия в момент времени t=1,3 с, если известно, что амплитуда зату-хающих колебаний а0=20 см, логарифмический декремент затухания ра-вен 7,564, начальное отклонение x0=0 , циклическая частота собственных колебаний ω0=1,26 с-1.

3) тело массой m=0,01 кг, подвешенное на пружине жесткостью k=0,16 н/м, совершает вынужденные колебания. частота силы 3 рад/с, а ее максимальное значение равно f0=0,02 н. определить амплитуду вынужденных колебаний а, если известно, что коэффициент затухания β=0,5 рад/с.

1) Для определения длины и периода колебаний маятника необходимо использовать следующие формулы:
a) Длина колебаний маятника L вычисляется по формуле L = 2πr, где r - радиус диска.
L = 2π * 24 см = 48π см.

b) Период колебаний T вычисляется по формуле T = 2π * √(L / g), где g - ускорение свободного падения (принимаем его равным 9,8 м/с²).
T = 2π * √((48π см) / (9,8 м/с²)).
Переведем длину из сантиметров в метры: L = 48π см = 0,48π м.
T = 2π * √((0,48π м) / (9,8 м/с²)).
Вычислим корень:
T = 2π * √(0,48π / 9,8) с ≈ 2π * √(0,153с²) с ≈ 2π * 0,391 с ≈ 0,791с.

Ответ: Длина колебаний маятника равна 48π см, а период колебаний составляет примерно 0,791 с.

2) Для определения координаты x материальной точки относительно положения равновесия в момент времени t=1,3 с, используем формулу колебаний с учетом затухания:
x(t) = a * e^(-βt) * cos(ωt + φ), где a - амплитуда колебаний, β - коэффициент затухания, ω - циклическая частота, φ - начальная фаза.

Заметим, что начальное отклонение x₀=0, а логарифмический декремент затухания равен 7,564. Также, циклическая частота собственных колебаний равна ω₀=1,26 с⁻¹.

a) Найдем амплитуду колебаний a:
a = a₀ * e^(β/2), где a₀ - амплитуда начального отклонения.
a = 20 см * e^(7,564 / 2) см ≈ 20 см * e^(3,782) см.

Переведем амплитуду в метры:
a ≈ 20 см * e^(3,782) см ≈ 0,2 м * e^(3,782) ≈ 0,2 м * 43,7496 ≈ 8,74992 м.

b) Теперь найдем значение φ, фазы колебаний в начальный момент времени:
φ = arctan((-βx₀) / (ω₀x₀)), где x₀ - начальное отклонение (в данном случае равно 0).
φ = arctan((-β * 0) / (ω₀ * 0)) = arctan(0/0).

Ответ: Так как arctan(0/0) является неопределенностью, нам не удастся точно определить значение фазы φ. Данные для решения данного вопроса недостаточны.

3) Для определения амплитуды вынужденных колебаний a необходимо использовать следующую формулу:
a = f₀ / (m * √((ω₀² - ω²)² + (2βω)²)), где f₀ - максимальное значение силы, m - масса тела, ω₀ - циклическая частота собственных колебаний, β - коэффициент затухания, ω - частота силы.

В данной задаче известны значения: m = 0,01 кг, k = 0,16 Н/м, ω = 3 рад/с, и f₀ = 0,02 Н.

a) Найдем значение циклической частоты собственных колебаний ω₀:
ω₀ = √(k / m) = √(0,16 Н/м / 0,01 кг) = √(16 кг·м/с² / 0,01 кг) = √(1600 с⁻²) = 40 с⁻¹.

b) Выразим амплитуду вынужденных колебаний a:
a = f₀ / (m * √((ω₀² - ω²)² + (2βω)²)) = 0,02 Н / (0,01 кг * √(((40 с⁻¹)² - (3 рад/с)²)² + (2 * 0,5 рад/с * 3 рад/с)²)).

a = 0,02 Н / (0,01 кг * √((1600 с⁻² - 9 рад²/с²)² + (3 рад²/с²)²)) = 2 Н / (0,01 кг * √((1600 - 9) с²⁻² + 9 с²⁻²)).

a = 2 Н / (0,01 кг * √(1591 с²⁻² + 9 с²⁻²)) = 2 Н / (0,01 кг * √(1600 с²⁻²)) = 1Н / (0,01 кг * 40 с⁻¹).

a = 1 Н / ( 0,01 кг * 40 с⁻¹) = 1 Н / (0,4 кг·с⁻¹) = 2,5 Н·с / кг.

Ответ: Амплитуда вынужденных колебаний составляет 2,5 Н·с / кг.