Марина полностью тратит свой бюджет на покупку товаров X и Y. Первоначально, когда цены на товары Рх = 300 руб. и Ру = 100 руб. соответственно, Марина потребляла 5 единиц товара X и 9 единиц товара Y, чтобы максимизировать свою совокупную полезность, исходя из своего бюджета. Какова предельная н орма замены товаром Х товараУ

Для решения данной задачи мы воспользуемся концепцией предельной нормы замены (ПНЗ).

Предельная норма замены показывает, сколько единиц товара Y нужно заменить на одну единицу товара X, чтобы полезность от потребления осталась неизменной. Математически это можно выразить следующим образом:

ПНЗ(X,Y) = ΔY / ΔX

где ΔY - изменение потребляемых единиц товара Y,
ΔX - изменение потребляемых единиц товара X.

В данной задаче нам известно, что Марина исходно потребляла 5 единиц товара X и 9 единиц товара Y. Для определения ПНЗ(X,Y) мы найдем, как изменяется потребление товаров X и Y, при изменении количества товара X на 1 единицу.

Для начала, найдем совокупную полезность от потребления 5 единиц товара X и 9 единиц товара Y. Затем, мы увеличим потребление товара X на 1 единицу до 6 единиц, и найдем, сколько единиц товара Y Марина будет потреблять при этом новом количестве товара X.

Совокупная полезность (C) можно выразить следующим образом:

C = X^a * Y^b

где а и b - коэффициенты полезности товаров X и Y соответственно.

Исходя из условия задачи, Марина максимизирует совокупную полезность при фиксированном бюджете. Поэтому, можно сделать вывод, что изменение потребления товаров X и Y будет пропорционально их ценам.

Исходя из применения метода Лагранжа для нахождения экстремума (максимума) функции с ограничениями, мы получаем следующую систему уравнений:

C = X^a * Y^b
300X + 100Y = B

где B - бюджет Марины.

Для предельной нормы замены, нам необходимо выразить величину ΔY и ΔX через производные функции полезности (C) по потребляемым товаром:

ΔY = - (∂C/∂Y)/(∂C/∂X) * ΔX

ΔX = - (∂C/∂X)/(∂C/∂Y) * ΔY

Теперь, найдем частную производную функции полезности (C) по переменным товаров:

∂C/∂X = a * X^(a-1) * Y^b
∂C/∂Y = b * X^a * Y^(b-1)

Подставим найденные производные в формулы ΔY и ΔX:

ΔY = - (b * X^a * Y^(b-1))/(a * X^(a-1) * Y^b) * ΔX
ΔX = - (a * X^(a-1) * Y^b)/(b * X^a * Y^(b-1)) * ΔY

Заметим, что наша задача состоит в определении предельной нормы замены на товар Х, то есть ΔY/ΔX. Поэтому, мы можем поделить уравнение ΔY на ΔX:

(ΔY/ΔX)(ΔX/ΔX) = - (b * X^a * Y^(b-1))/(a * X^(a-1) * Y^b) * (ΔX/ΔX)

(ΔY/ΔX) = - (b * X^a * Y^(b-1))/(a * X^(a-1) * Y^b)

Упрощая выражение, получаем:

(ΔY/ΔX) = - (b * Y)/ (a * X)

Таким образом, предельная норма замены товаром X товара Y равна - (b * Y)/ (a * X).

В задаче не указаны значения коэффициентов полезности (а и b), поэтому мы не можем определить конкретные числовые значения для предельной нормы замены. Однако, теперь мы знаем, как выразить данную величину и определить ее, используя конкретные значения для коэффициентов полезности товаров X и Y.