Контрольная выборочная проверка показала, что средняя продолжительность горения лампочки составляет 1150 ч., а дисперсия равна 900. Определите предельную ошибку выборочной средней с вероятностью 0,997 при условии, что на продолжительность горения было испытано 400 лампочек.

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать формулу для определения доверительного интервала среднего значения прибора, которая имеет вид:

доверительный интервал = среднее значение ± предельная ошибка

Предельная ошибка выборочного среднего определяется следующей формулой:

предельная ошибка = Z * (стандартное отклонение / √n)

Где:

Z - коэффициент, определяемый с помощью таблицы Z-оценок или стандартного нормального распределения для заданной вероятности. В данном случае, вероятность равна 0,997, поэтому найдем значение соответствующего коэффициента Z в таблице.

стандартное отклонение - квадратный корень из дисперсии. В данном случае, дисперсия равна 900, поэтому стандартное отклонение будет равно √900 = 30.

n - объем выборки, то есть количество испытанных лампочек. В данном случае, n = 400.

Теперь, чтобы найти точное значение коэффициента Z в таблице, нам нужно знать требуемую вероятность p, так как таблица Z-оценок позволяет нам найти только вероятность между нулем и коэффициентом Z. Однако, известно, что стандартное нормальное распределение симметрично, поэтому мы можем использовать свойство симметрии и найти два значения коэффициента Z, p/2 для определения диапазона соблюдения заданной вероятности p.

Таким образом, p/2 = (1 + 0.997) / 2 = 0.9985

Теперь, чтобы найти коэффициент Z в таблице, мы ищем значение, соответствующее 0.9985 в стандартном нормальном распределении (Z-оценка). Мы находим около 2.8. Это означает, что вероятность, что значение Z будет меньше -2.8 (то есть, -∞ до -2.8), составляет 0.0015. Однако, нам нужно определить предельную ошибку, поэтому мы будем использовать положительное значение коэффициента Z, то есть 2.8.

Теперь мы можем рассчитать предельную ошибку выборочного среднего:

предельная ошибка = 2.8 * (30 / √400)

√400 = 20.

предельная ошибка = 2.8 * (30 / 20) = 4.2

Таким образом, предельная ошибка выборочной средней с вероятностью 0.997 составляет 4.2.

Доверительный интервал может быть рассчитан с использованием предельной ошибки:

доверительный интервал = 1150 ± 4.2

Доверительный интервал составит от 1145.8 до 1154.2.

Таким образом, с вероятностью 0.997, средняя продолжительность горения лампочки составляет от 1145.8 до 1154.2 часов.