16. дана функция спроса на продукцию монополиста: q = 12 - p и функция общих затрат монополиста: tc = 6 + 6q + q2. определите цену, при которой монополист минимизирует убытки, и сумму этих убытков.

Q=12-P
P=12-Q
TR=P*Q=(12-Q)*Q=12Q – Q^²
MR=∆TR/∆Q = 12-2Q
TC=6+6Q+Q^²
MC=∆TC/∆Q=6+2Q

Условием максимизации прибыли в условиях монополии служит равенство предельных издержек производства предельному доходу: MR=MC.

12-2Q=6+2Q
4Q=6
Q=6/4=1,5
P=12-Q = 12-1,5 = 10.5
∏=TR-TC=(P*Q) – (6 - 6Q - Q^²) = (10,5*1,5) –[ 6 - (6*1,5) – 1,5^²] =
15,75 – 6 +9 + 2,25 = 21

Хорошо, давайте решим этот вопрос пошагово.

1. Нам дана функция спроса на продукцию монополиста: q = 12 - p, где q - количество товара, которое монополист готов продать, а p - цена продукции. Это значит, что спрос на продукцию будет уменьшаться с увеличением цены.

2. Также нам дана функция общих затрат монополиста: tc = 6 + 6q + q^2, где tc - общие затраты монополиста, q - количество товара, а q^2 - квадрат количества продукции. Общие затраты монополиста будут увеличиваться с увеличением количества продукции.

3. Чтобы найти цену, при которой монополист минимизирует убытки, нам нужно найти точку пересечения функций спроса и общих затрат. Для этого приравняем функции q = tc и решим полученное уравнение.

12 - p = 6 + 6q + q^2

4. Разложим это уравнение на квадратный трехчлен и приведем его к стандартному виду:

q^2 + 6q + (6 - p - 12) = 0
q^2 + 6q - p - 6 = 0

5. Теперь применим квадратное уравнение, чтобы найти значения q:

q = (-6 ± √(6^2 - 4(-p - 6)) / 2
q = (-6 ± √(36 + 4p + 24)) / 2
q = (-6 ± √(4p + 60)) / 2
q = -3 ± √(p + 15)

6. Чтобы найти цену, при которой монополист минимизирует убытки, мы должны найти q находящееся на отрезке (0, 12). Если мы возьмем значение q = -3 + √(p + 15), то оно будет за пределами этого отрезка, поэтому мы должны выбрать значение q = -3 - √(p + 15).

7. Теперь подставим это значение q в функцию спроса, чтобы найти цену:

q = 12 - p
-3 - √(p + 15) = 12 - p
p = 12 + 3 - √(p + 15)
p = 15 - √(p + 15)

8. Приведем это уравнение к квадратному виду и решим его:

p - 15 = -√(p + 15)
(p - 15)^2 = (-√(p + 15))^2
p^2 - 30p + 225 = p + 15
p^2 - 31p + 210 = 0

9. Разложим это квадратное уравнение на множители:

(p - 6)(p - 35) = 0

10. Найдем корни уравнения:

p - 6 = 0 или p - 35 = 0
p = 6 или p = 35

11. Получили два значения цены, при которых монополист может минимизировать убытки: p = 6 и p = 35.

12. Теперь осталось найти сумму этих убытков. Для этого подставим найденные значения цены в функцию общих затрат:

tc = 6 + 6q + q^2

При цене p = 6:

tc = 6 + 6q + q^2
tc = 6 + 6(12 - 6) + (12 - 6)^2
tc = 6 + 6(6) + 6^2
tc = 6 + 36 + 36
tc = 78

При цене p = 35:

tc = 6 + 6q + q^2
tc = 6 + 6(12 - 35) + (12 - 35)^2
tc = 6 + 6(-23) + (-23)^2
tc = 6 - 138 + 529
tc = 397

Таким образом, сумма убытков при цене p = 6 составляет 78, а при цене p = 35 - 397.