10. Функция спроса на продукцию монополии Q = 24 - P Функция издержек монополии TC=10+5Q^ 2 . Найдите равновесный выпуск и максимальную прибыль.

Для решения данной задачи, мы должны найти равновесный выпуск и максимальную прибыль монополии. 1. Начнем с нахождения равновесного выпуска. Равновесный выпуск находится в точке, где спрос равен предложению. В данном случае, спрос представлен функцией Q = 24 - P, а предложение - функцией издержек монополии TC=10+5Q^2. Составим уравнение, где спрос будет равен предложению: Q = 24 - P TC = 10 + 5Q^2 2. Для определения равновесного выпуска, подставим значение спроса (Q) вместо P в уравнении предложения и решим полученное уравнение: Q = 24 - P TC = 10 + 5Q^2 Подставим Q вместо P: TC = 10 + 5(24 - Q)^2 TC = 10 + 5(576 - 48Q + Q^2) TC = 10 + 2880 - 240Q + 5Q^2 TC = 2890 - 240Q + 5Q^2 3. Для нахождения равновесного выпуска, нужно приравнять предложение к нулю и решить уравнение: 2890 - 240Q + 5Q^2 = 0 4. Решим полученное уравнение: 5Q^2 - 240Q + 2890 = 0 Мы можем решить это уравнение, используя квадратное уравнение, или метод корней. Давайте воспользуемся квадратным уравнением: Дискриминант D = b^2 - 4ac D = (-240)^2 - 4*5*2890 D = 57600 - 57800 D = -200 Так как дискриминант меньше нуля, уравнение не имеет действительных корней. Значит, равновесного выпуска не существует. 5. Теперь перейдем к нахождению максимальной прибыли. Максимальная прибыль достигается в точке, где прибыль достигает своего максимума. Для этого, найдем первую производную функции прибыли и приравняем ее к нулю. Прибыль - это разница между выручкой и издержками. Так как у нас есть функции спроса и издержек, мы можем получить функцию прибыли, вычислив разность между ними: Profit = (P * Q) - TC Подставляем значения функций спроса и издержек: P = 24 - Q TC = 10 + 5Q^2 Profit = ( (24 - Q) * Q) - (10 + 5Q^2) Profit = (24Q - Q^2) - 10 - 5Q^2 Profit = 24Q - Q^2 - 10 - 5Q^2 Profit = -6Q^2 + 24Q - 10 6. Теперь возьмем первую производную функции прибыли и найдем точку, где производная равна нулю: d(Profit)/dQ = -12Q + 24 -12Q + 24 = 0 -12Q = -24 Q = 2 7. Теперь найдем значение P при Q = 2, используя функцию спроса: P = 24 - Q P = 24 - 2 P = 22 Значит, равновесный выпуск монополии равен 2, а цена равна 22. 8. Найдем максимальную прибыль, подставив найденные значения Q и P в функцию прибыли: Profit = (P * Q) - TC Profit = (22 * 2) - (10 + 5(2^2)) Profit = 44 - (10 + 5 * 4) Profit = 44 - (10 + 20) Profit = 44 - 30 Profit = 14 Таким образом, максимальная прибыль монополии составляет 14.