Записать высказывание и определит его истинность, считая, что все переменные принадлежат множеству действительных чисел:

А) (∃x) (∀y): (x + y = 10)
(∀x) (∃y) (∃z): x*y = z
Б) (∀x) (∃y) (x – y = 7)
(∀х) (∀y): (х+y>0)

Записать предложенное высказывание в символичной форме, введя предикаты:

А) У каждого человека есть мать. Некоторые студенты – второкурсники.
Б) Каждое материальное тело имеет массу. Существуют кустарники, которые больше чем деревья.

Контрольные во При каких условиях высказывания ∀хР(х) и ∃хР(х) истинны?
2. Где используются предикаты и кванторы?

А) Для определения истинности высказывания (∃x) (∀y): (x + y = 10), сначала заменим кванторы на их эквивалентные математические операции. Знак существования (∃x) означает, что найдется какое-то значение переменной x, для которого выполняется условие из выражения в скобках. Знак всеобщности (∀y) означает, что для всех значений переменной y выполняется условие.

Таким образом, высказывание записывается как:

Существует такое x, что для всех y выполняется (x + y = 10).

Чтобы найти истинность этого высказывания, нужно проверить, выполняется ли равенство (x + y = 10) для всех значений x и y из действительных чисел. Если есть хотя бы одно такое значение x, для которого выполняется данное равенство при любом значении y, то высказывание истинно.

Давайте проверим это. Предположим, что x = 5. Тогда у нас будет:

(5 + y = 10)

Для этого уравнения существует решение, так как если мы возьмем y = 5, то:

(5 + 5 = 10), что является истинным утверждением.

Таким образом, высказывание (∃x) (∀y): (x + y = 10) истинно.

Теперь рассмотрим второе высказывание (∀x) (∃y) (∃z): x*y = z. Опять заменим кванторы на эквивалентные математические операции. Знак всеобщности (∀x) означает, что для всех значений переменной x выполняется условие. Знак существования (∃y) означает, что найдется такое значение переменной y, для которого выполняется условие. Знак существования (∃z) означает, что найдется такое значение переменной z, для которого выполняется условие.

Высказывание записывается следующим образом:

Для всех x существуют такие y и z, что x * y = z.

Для определения истинности этого высказывания, нужно проверить, выполняется ли уравнение (x * y = z) для всех значений x, y и z из действительных чисел. Если для каждого значения x найдутся значения y и z, для которых равенство выполняется, то высказывание истинно.

Предположим, что значение x любое, например x = 1. Тогда нам нужно найти такие значения y и z, чтобы выполнялось уравнение (1 * y = z). Это возможно, если мы возьмем, например, y = 2 и z = 2, так как:

(1 * 2 = 2), что является истинным утверждением.

Таким образом, высказывание (∀x) (∃y) (∃z): x*y = z истинно.

Б) Запись предложенных высказываний в символической форме с использованием предикатов будет следующей:

А) У каждого человека есть мать: (∀x) (Мать(x))

Некоторые студенты – второкурсники: (∃x) (Второкурсник(x))

Б) Каждое материальное тело имеет массу: (∀x) (Материальное_тело(x) -> Масса(x))

Существуют кустарники, которые больше чем деревья: (∃x) (Кустарник(x) ∧ ∃y) (Дерево(y) ∧ БОЛЬШЕ(x, y))

Контрольные вопросы:
1) Высказывание ∀хР(х) истинно, если предикат Р(x) выполняется для каждого значения x из определенного множества. Иными словами, если утверждение Р верно для всех значений x из множества.

Высказывание ∃хР(х) истинно, если найдется хотя бы одно значение x, для которого предикат Р(x) выполняется. Иными словами, если утверждение Р верно хотя бы для одного значения x из множества.

2) Предикаты и кванторы используются в математике и логике. Предикат - это выражение, которое зависит от одной или нескольких переменных и может быть истинным или ложным. Кванторы (существование и всеобщность) позволяют задавать условия для переменных и определять диапазон истинности высказываний, связывая переменные в математических утверждениях или логических рассуждениях.