X²-4x+5
Доказать, что больше 0
Этим не пользоваться:
x²-4x+4+1=(x-2)²+1>0​

Рассмотрим функцию:

y = x² - 4x + 5.

D[y] = (-∞;+∞).

y' = (x² - 4x + 5)' = 2x - 4 = 2·(x-2)

Функция y возрастает при y'≥0, ⇔ 2·(x-2)≥0; ⇔ x-2≥0, ⇔ x≥2.

Функция y убывает при y'≤0, ⇔ 2·(x-2)≤0; ⇔ x-2≤0, ⇔ x≤2.

Таким образом функция y убывает на промежутке (-∞; 2] и возрастает на промежутке [2; +∞). И x = 2 является точкой минимума функции. Минимум функции есть y(2) = 2² - 4·2 + 5 = 4 - 8 + 5 = 1.

Таким образом на всей числовой прямой y≥1>0.