Взяли 100 чисел. Выписали их всевозможные попарные произведения (среди выписанных могут быть и одинаковые числа). Ровно 1000 из выписанных

Ответ: 30 или 35.
Решение. Отрицательное произведение получается умножением отрицательного числа на положительное. Пусть среди взятых чисел п отрицательных и р положительных. Составим из них таблицу с п строками и р столбцами: слева от строки стоит отрицательное число, над столбцом — положительное, а на пересечении строки и столбца — их произведение. Так мы получим всевозможные отрицательные попарные произведения, и их будет столько, сколько клеток в таблице, то есть пр = 1000. И п, и р больше 0, значит, оба меньше 100. Но 1000 можно разложить в произведение таких чисел лишь двумя способами: 20 • 50 или 25 • 40 (чтобы в этом убедиться, разложите число 1000 на простые множители и выпишите все его делители). Поэтому ненулевых чисел среди взятых может быть лишь 20 + 50 = 70 или 25 + 40 = 65. Значит, нулевых будет 100-70 = 30 или 100-65 = 35.