Вероятность выхода из строя за время Т одного конденсатора равна 0.2. Определить вероятность того, что за время

Решение. 

Имеем П = 100, P = 0.2, Q = 1 - P = 0.8.

1. Ровно 10 конденсаторов.

Так как П Велико, воспользуемся локальной теоремой Муавра - Лапласа:

Т" выйдут из строя:
1) хотя бы один конденсатор,
2) ровно один конденсатор,
3) максимум два конденсатора.

Для решения задачи воспользуемся понятием вероятности и наивенским предположением, что выход из строя одного конденсатора никак не влияет на выход из строя других конденсаторов.

1) Вероятность того, что не выйдет из строя ни один конденсатор за время Т равна (1-0.2)=0.8.
Значит, вероятность того, что хотя бы один конденсатор выйдет из строя за время Т составляет 1 минус вероятность, что не выйдет из строя ни один конденсатор:
P(хотя бы один конденсатор) = 1 - P(ни один конденсатор) = 1 - 0.8 = 0.2.

2) Чтобы найти вероятность того, что ровно один конденсатор выйдет из строя, нужно учесть две ситуации:
- первый конденсатор вышел из строя, а остальные остались работоспособными,
- первый конденсатор остался работоспособным, а остальные вышли из строя.

Вероятность выхода из строя первого конденсатора = 0.2
Вероятность того, что все остальные конденсаторы не выйдут из строя = 0.8^(n-1), где n - общее количество конденсаторов.

Так как мы ищем вероятность ровно одного вышедшего из строя конденсатора, нужно учесть количество возможных комбинаций, в которых это может произойти. Количество комбинаций для n-конденсаторов составляет C(n-1,1) = (n-1).

Суммируя два случая, получаем вероятность:
P(ровно один конденсатор) = (Вероятность выхода из строя первого конденсатора) * (Вероятность, что остальные работоспособны) * (Количество комбинаций) = 0.2 * 0.8^(n-1) * (n-1).

3) Теперь рассмотрим вероятность того, что максимум два конденсатора выйдут из строя за время Т. Найдем вероятности для трех случаев: ни один конденсатор не выйдет из строя, ровно один конденсатор выйдет из строя и ровно два конденсатора выйдут из строя:
P(ни один конденсатор) = 0.8^n
P(ровно один конденсатор) = 0.2 * 0.8^(n-1) * (n-1)
Вероятность того, что ровно два конденсатора выйдут из строя = P(остались работоспособными) * P(вышли из строя два конденсатора) = 0.8^n * C(n-2,2) * (0.2)^2 * (0.8)^(n-2).

Теперь сложим вероятности этих трех случаев:
P(максимум два конденсатора) = P(ни один конденсатор) + P(ровно один конденсатор) + P(ровно два конденсатора).

Таким образом, ответ на каждый из заданных вопросов будет:
1) Вероятность хотя бы одного вышедшего из строя конденсатора за время Т составляет 0.2.
2) Вероятность ровно одного вышедшего из строя конденсатора за время Т составляет 0.2 * 0.8^(n-1) * (n-1), где n - общее количество конденсаторов.
3) Вероятность максимума двух вышедших из строя конденсаторов за время Т составляет P(ни один конденсатор) + P(ровно один конденсатор) + P(ровно два конденсатора), где P(нулевой конденсатор) = 0.8^n, P(ровно один конденсатор) = 0.2 * 0.8^(n-1) * (n-1), а P(ровно два конденсатора) = 0.8^n * C(n-2,2) * (0.2)^2 * (0.8)^(n-2).