В вершинах куба расставлены числа от 1 до 8. На каждой грани записана сумма чисел, расставленных в ее вершинах. Может ли оказаться

Нет, не может. Пусть на гранях записано шесть последовательных натуральных чисел, n – наименьшее из них, а S – их сумма. Тогда S = n + (n + 1) + ... + (n + 5) = 6n + 15. Так как каждая вершина принадлежит трем граням куба, то каждое число от 1 до 8 входит в три суммы, записанные на гранях. Поэтому, S = (1 + 2 + … + 8)*3 = 108. Уравнение 6n + 15 = 108 не имеет натуральных решений, так как в его левой части – нечетное число, а в правой части – четное.