В треугольнике ABC угол А = α, угол С = β, ВС = 7см, ВН - высота треугольника. Найти АН

Решение.
Для решения задачи воспользуемся теоремой синусов. Из нее следует, что:

BC / sin α = AB / sin β

то есть
7 / sin α = AB / sin β
AB = 7 sin β / sin α

Теперь рассмотрим треугольник ABH. По условию задачи BH - высота, значит он является прямоугольным. Угол AHB = 90 градусам.
Тогда угол ABH = 180 - 90 - α. = 90 - α.
Для него будет верно соотношение:

AB / sin 90 = AH / sin (90 - α)

Из таблицы значений тригонометрических функций учтем что sin 90 = 1, тогда

AB = AH / sin (90 - α)

Из формул приведения тригонометрических функций учтем что sin( 90 - α ) = cos α, тогда

AB = AH / cos α

Подставим значение AB

7 sin β / sin α = AH / cos α
AH sin α = 7 sin β cos α
AH = 7 sin β cos α / sin α

Из тех же тригонометрических тождеств выясним, что cos α / sin α = ctg α, тогда

AH = 7 sin β ctg α

Ответ: 7 sin β ctg α