Відомо, що натуральні числа m і n такі, що значення виразу 10m + n ділиться націло на 11. Доведіть, що значения виразу (10m + n)(10n + m) ділиться націло на 121

Відповідь:

За умовою 10m • n = 11а. Звідси n = 11а - 10n.
(10m + n)(10n + m) = 11a • (10(11а - 10n) + n = 11a • (110a - 100n + n) = 11a(110a - 99n) = 121a(10a - 9n).
Отримали вираз, що ділиться без остачі на 121, а, отже, ж початковий вираз (10m + n)(10n + m)) ділиться без остачі на 121.
Твердження задачі доведено.