В десятичном королевстве имеют хождение монеты: 1 грош, 10 грошей, 100 грошей, 1000 грошей. Можно ли отсчитать миллион грошей

Ответ: невозможно.
Способ 1: Предположим, что искомый набор получен. Будем разменивать каждую крупную монету на гроши. Тогда в конце получим миллион грошей. Но количество монет с каждым шагом увеличивается на число, кратное 3 (на 9, 99 или 999), однако в итоге увеличилось на полмиллиона, что не кратно 3. Получим противоречие.
Способ 2: Обозначим за a, b, c, d количество монет стоимостью 1, 10, 100, 1000 грошей соответственно. Тогда 1000000=1*a+10*b+100*c+1000*d, и 500000=a+b+c+d. Вычтем из первого второе получим: 500000=9*b+99*c+999*d. Заметим что справа число кратное 9, а слева не кратное 9, следовательно получим противоречие.