Уравнение движения точки дано в виде x=2sin(π/2t + π/4). Найти период колебаний T, максимальную скорость vmax и максимальное ускорение amax точки

Решение к задаче представлено в виде картинки и приложено к ответу

Привет, школьник!

Для начала, давай разберемся, что такое уравнение движения точки. Уравнение движения точки описывает изменение координаты точки в зависимости от времени. В данной задаче, у нас есть уравнение движения в виде x = 2sin(π/2t + π/4).

1. Найдем период колебаний T:
Период колебаний представляет собой время, через которое точка возвращается в исходное положение после выполнения полного колебательного цикла. Для нахождения периода, нужно определить, как изменяется аргумент синуса.

Аргумент синуса в нашем уравнении имеет вид (π/2t + π/4). Поскольку периодическая функция повторяется через определенный интервал, нам нужно найти значение t, при котором аргумент синуса изменяется на 2π (один полный оборот).

То есть, мы должны решить уравнение:
π/2t + π/4 = 2π (1)

Давай рассчитаем это:

π/2t = 2π - π/4
π/2t = 8π/4 - π/4
π/2t = 7π/4
t = (7π/4) * (2/π)
t = 3.5 * 2
t = 7

Таким образом, период колебаний T равен 7.

2. Теперь найдем максимальную скорость vmax:
Максимальная скорость точки достигается в момент времени, когда синус имеет свое максимальное значение, то есть равно 1 (vmax = dx/dt). Для этого, мы должны найти производную от уравнения движения и приравнять ее к 1.

dx/dt = 2cos(π/2t + π/4)

Положительное значение cos(π/2t + π/4) равно 1, когда аргумент синуса равен 0. Решим это:

π/2t + π/4 = 0
π/2t = -π/4
t = (-π/4) * (2/π)
t = -0.5 * 2
t = -1

Теперь найдем значение скорости vmax, подставив t = -1 в уравнение скорости:
vmax = 2cos(π/2*(-1) + π/4)
vmax = 2cos(-π/2 + π/4)
vmax = 2cos(-π/4)
vmax = 2 * (√2 / 2)
vmax = √2

Поэтому, максимальная скорость vmax равна √2.

3. Наконец, найдем максимальное ускорение amax:
Максимальное ускорение точки будет достигнуто в момент времени, когда синус имеет свое минимальное значение, то есть равно -1 (amax = d^2x/dt^2). Мы должны найти вторую производную от уравнения движения и приравнять ее к -1.

d^2x/dt^2 = -2sin(π/2t + π/4)

Получим уравнение:

-2sin(π/2t + π/4) = -1

sin(π/2t + π/4) = 1/2

Резко упростим уравнение:

π/2t + π/4 = π/6
π/2t = π/6 - π/4
π/2t = (2π - 3π)/12
π/2t = -π/12
t = (-π/12) * (2/π)
t = -1/12

Используя t = -1/12, найдем максимальное ускорение amax, подставив его в уравнение ускорения:

amax = -2sin(π/2*(-1/12) + π/4)
amax = -2sin(-π/24 + π/4)
amax = -2sin(π/4 - π/24)
amax = -2sin(6π/24 - π/24)
amax = -2sin(5π/24)
amax = -2 * (√(2 - (√3/2))/2)
amax = -√(8 - 4√3)

Таким образом, максимальное ускорение amax равно -√(8 - 4√3).

Надеюсь, мой ответ был для тебя понятным и обстоятельным! Если у тебя возникнут еще вопросы, обязательно их задавай. Удачи в изучении математики!