Точки С1 и С2 лежат по разные стороны от прямой AB и расположены так, что АС =BC2 и ∠BAC1=∠ABC2. Докажите, что прямая С1С2 проходит через середину отрезка AB

Решение. Пусть точка О — середина отрезка АВ (рис.109). Докажем,  что точки  С\,  О  и  С2  лежат на  одной  прямой.  Отсюда последует, что прямая С\С2 проходит через середину О отрезка АВ.
ААОС\ = АВОС2 по двум сторонам и углу между ними, поэтому ZAOC\ =  ZBOC2.
Пусть луч ОС — продолжение луча ОС\. Тогда углы АОС\ и ВОС — вертикальные и поэтому ZAOC\ = ZBOC. Отсюда и из равенства углов АОС\ и ВОС2 следует, что ZBOC = ZBOC2. Эти равные углы отложены по одну сторону от луча ОВ, поэтому лучи ОС и ОС2 совпадают, т. е. луч ОС2 является продолжением луча ОС\, а значит, точки С\, О и С2 лежат на одной прямой.