Точка Е делит медиану ВМ треугольника АВС в отношении 1 : 3, считая от точки В. Найдите отношение площадей треугольников: 1) ВСМ и ABE;

Сказка о пастушонке Пете

Разве что только "Поет зима - аукает" да "Бабушкины сказки", хотя последнее сказкой явно не назовешь. 
А вообще, Сергей Александрович не сказки писал, а стихи, причем стихи народные, революционные, посвященные темам любви, природы и т.д.

Для решения данной задачи, мы должны использовать основные свойства медиан треугольника и основные свойства площадей.

1) Сначала нам нужно установить положение точки Е на медиане ВМ.

Из условия задачи мы знаем, что точка Е делит медиану ВМ в отношении 1:3, считая от точки В. Это означает, что расстояние от точки В до точки Е равно третьей части всей длины медианы.

Пусть длина медианы ВМ равна М, тогда длина отрезка ВЕ будет равна М/3.

2) Затем нам нужно определить соотношение площадей треугольников ВСМ и АВЕ.

Мы знаем, что площадь треугольника равна половине произведения длины основания на высоту, проведенную к этому основанию.

Обозначим высоту треугольника АВЕ как h1, а высоту треугольника ВСМ как h2.

Так как точка Е делит медиану ВМ в отношении 1:3, то длина ВМ равна 4 разам от длины отрезка ВЕ, а значит:

VM = 4 * VE

Также, мы можем заметить, что треугольники АВЕ и ВСМ имеют одинаковую основу - это отрезок АВ.

Значит, чтобы найти высоту треугольника ВСМ, нам нужно узнать высоту треугольника АВЕ.

Для этого мы можем воспользоваться соотношением медианы и высоты треугольника, которое гласит:

Медиана равна 2/3 длины высоты.

То есть, h1 = 3/2 * VE.

3) На данном этапе у нас есть выражения для высоты треугольника АВЕ и высоты треугольника ВСМ. Мы можем использовать их для определения отношения площадей этих треугольников.

Площадь треугольника равна половине произведения длины основания на соответствующую высоту.

То есть,

Площадь треугольника ВСМ (S1) = 1/2 * BM * h2

Площадь треугольника АВЕ (S2) = 1/2 * AB * h1

Мы также знаем, что VE равна М/3, и h1 равна 3/2 * VE, что равнозначно половине М для h1.

Чтобы выразить BM и h2 через М, мы можем использовать соотношение медианы и длины основания, которое гласит:

Медиана равна 2/3 длины основания.

BM = 3/2 * AB

h2 = 2/3 * h1

4) Теперь у нас есть все необходимые выражения для площадей треугольников ВСМ и АВЕ.

Подставим эти значения в выражения для площадей:

S1 = 1/2 * BM * h2

S2 = 1/2 * AB * h1

Сначала рассмотрим выражение для S1:

S1 = 1/2 * (3/2 * AB) * (2/3 * h1)

Упростим:

S1 = 1/2 * (3/2 * AB) * (2/3 * (3/2 * VE))

S1 = 1/2 * (3/2 * AB) * VE

Теперь рассмотрим выражение для S2:

S2 = 1/2 * AB * (3/2 * VE)

5) Чтобы найти отношение площадей треугольников ВСМ и АВЕ, мы должны поделить S1 на S2:

S1/S2 = (1/2 * (3/2 * AB) * VE) / (1/2 * AB * (3/2 * VE))

После сокращений:

S1/S2 = (3/2 * VE) / (3/2 * VE)

3/2 сокращается:

S1/S2 = VE / VE

В итоге, отношение площадей треугольников ВСМ и АВЕ равно 1.

Ответ: Площадь треугольника ВСМ равна площади треугольника АВЕ в данной задаче.