Тетраэдр DABC помещен в прямоугольную систему координат (рис. 3), ∠ACB = 90°, ∠BAC = 30°, АВ = 10, DB ⊥ ABC, плоскость ADC составляет с плоскостью

решение задания по геометрии
 

ABC угол 45°. Найдите объем тетраэдра DABC.

Для решения этой задачи, мы можем воспользоваться формулой для объема тетраэдра:

V = (1/6) * S * h,

где V - объем тетраэдра, S - площадь основания тетраэдра, h - высота тетраэдра, опущенная из вершины на основание.

Давайте рассмотрим каждую часть формулы по порядку.

1. Найдем площадь основания тетраэдра S.

Основание тетраэдра DABC - это треугольник ABC. Мы знаем длины его сторон АВ = 10 и BC.

Используя теорему Пифагора, найдем длину стороны BC. Так как угол ACB = 90°, то треугольник ABC - прямоугольный. Значит, можно воспользоваться теоремой Пифагора:

BC^2 = AB^2 - AC^2,
BC^2 = 10^2 - (AB/2)^2,
BC^2 = 100 - 25,
BC^2 = 75,
BC = √75,
BC = √(25 * 3),
BC = 5√3.

Таким образом, длина стороны BC равна 5√3.

Теперь мы можем найти площадь треугольника ABC, используя формулу для площади прямоугольного треугольника:

S = (1/2) * AB * BC,
S = (1/2) * 10 * 5√3,
S = 25√3.

Таким образом, площадь основания тетраэдра S равна 25√3.

2. Найдем высоту тетраэдра h.

Высота тетраэдра - это расстояние от вершины D до плоскости ABC.

Так как плоскость ADC составляет с плоскостью ABC угол 45°, то высота тетраэдра h равна расстоянию от вершины D до плоскости ABC, проекции h на прямую BC и находится на гипотенузе треугольника ABC.

Так как ∠BAC = 30°, то ∠BAD = 60°. Значит, треугольник BAD - равносторонний треугольник.

Теперь мы можем найти высоту тетраэдра h:

h = AD * sin(BAD),
h = AB * sin(BAD),
h = 10 * sin(60°),
h = 10 * √3/2,
h = 5√3.

Таким образом, высота тетраэдра h равна 5√3.

3. Найдем объем тетраэдра V.

Используя формулу для объема тетраэдра и найденные значения S и h, мы можем найти объем тетраэдра:

V = (1/6) * S * h,
V = (1/6) * 25√3 * 5√3,
V = (1/6) * 25 * 3,
V = 125/6.

Таким образом, объем тетраэдра DABC равен 125/6.

Надеюсь, эта подробная информация помогла тебе понять решение задачи! Если у тебя есть еще вопросы, не стесняйся задавать их.