Существуют ли пять таких двузначных составных чисел, что любые два из этих чисел взаимно просты?

Ответ: нет, не существуют. Каждое из составных чисел является произведением, по крайней мере, двух простых чисел. В каждом из таких произведений не может быть больше одного двузначного сомножителя, иначе это произведение будет, как минимум, трехзначным числом. Значит, в разложении на простые множители каждого из искомых двузначных чисел должно присутствовать однозначное простое число. Но простых однозначных чисел всего четыре: 2, 3, 5 и 7. Следовательно (по принципу Дирихле), среди любых пяти составных двузначных чисел найдутся два, у которых будет общий делитель, отличный от 1.