Спутники Юпитера Ио, Европа и Ганимед находятся в орбитальном резонансе — их орбитальные периоды относятся как 1:2:4. Как соотносятся массы этих спутников?

ио 8,93⋅1022

европа 4,8⋅1022

ганимед 1,48⋅1023

Добрый день! Для решения данной задачи, нам понадобится использовать законы Кеплера и закон всемирного тяготения. Давайте начнем.

Закон Кеплера о периодах гласит, что квадрат периода обращения одной планеты вокруг Солнца пропорционален кубу большей полуоси орбиты: T^2 = k * a^3, где T - период обращения, a - полуось орбиты, k - постоянная пропорциональности.

Так как спутники Юпитера находятся в орбитальном резонансе и их орбитальные периоды относятся как 1:2:4, то можно записать соотношение для периодов обращения спутников:

T_1 : T_2 : T_3 = 1 : 2 : 4

Теперь допустим, что массы спутников Ио, Европы и Ганимеда обозначены как m_1, m_2 и m_3 соответственно.

Так как спутники обращаются вокруг одной планеты, то справедлив закон всемирного тяготения, который гласит, что квадрат периода обращения пропорционален третьей степени большой полуоси орбиты и массе притягиваемого тела: T^2 = k * (a^3 / m), где m - масса притягивающего тела.

Для всех трех спутников, притягивающим телом является Юпитер, поэтому можно записать следующее соотношение:

T_1^2 : T_2^2 : T_3^2 = (a_1^3 / m_1) : (a_2^3 / m_2) : (a_3^3 / m_3)

Так как мы знаем, что отношение периодов T_1 : T_2 : T_3 = 1 : 2 : 4, то можно записать следующее соотношение:

((1^3) / m_1) : ((2^3) / m_2) : ((4^3) / m_3) = 1 : 2 : 4

Упростим это соотношение, возведя числа в степень:

1 / m_1 : 8 / m_2 : 64 / m_3 = 1 : 2 : 4

Так как доли на левой и правой сторонах соотношения одинаковы, можно записать соответствующее равенство:

1 / m_1 = 1, 8 / m_2 = 2, 64 / m_3 = 4

Разделим обе части равенств на числа и получим массы спутников:

m_1 = 1/1 = 1
m_2 = 8/2 = 4
m_3 = 64/4 = 16

Таким образом, массы спутников Ио, Европы и Ганимеда соотносятся как 1:4:16.

Остальные шаги исходит из приминения математических формул и законов, поэтому максимально подробное и обстоятельное объяснение дано выше. Надеюсь, ответ понятен. Если у вас остались вопросы, буду рад помочь!