Шахматный конь начинает свой маршрут в левом нижнем углу доски, а заканчивает его в правом верхнем углу. Может конь при нем побывать на всех полях доски по одному разу?

ответ:

Не может. Каждым своим ходом конь меняет цвет поля с черного на белый и наоборот. Каждым нечетным ходом конь идет с черной клетки на белую, а каждым четным - с белой на черную. Всего ячеек 64, а ходов конь должен сделать 63, поскольку на первой ячейке он уже стоит. Сделав 63-й ход (нечетная), конь попадет на белую клетку, а должен попасть на черную. Поэтому обойти всю доску и попасть в противоположный угол лошадь не сможет.