Серединные перпендикуляры KL и MN к боковым сторонам ВС и АВ равнобедренного треугольника ABC пересекаются в точке О (рис. 157). Докажите, что: a) MN = KL; б) МО = КО.

ответ к заданию по геометрии

 

Добрый день! Для решения данной задачи нам понадобятся некоторые свойства равнобедренных треугольников и перпендикуляров.

В данной задаче у нас имеется равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC. Серединные перпендикуляры KL и MN, проведенные к сторонам AB и BC соответственно, пересекаются в точке О.

a) Покажем, что длина отрезка MN равна длине отрезка KL.
Для этого воспользуемся свойством перпендикуляров. Если два перпендикуляра проведены к двум сторонам треугольника из их середин, то они пересекаются на высоте, проходящей через вершину треугольника.

Рассмотрим треугольник AMN и треугольник BKL. Они равны, так как у них две стороны равны (AM = BK, поскольку это середины сторон AB и BC), и угол между этими сторонами равен 90 градусов (поскольку KL и MN - перпендикуляры к сторонам прямоугольного угла треугольника ABC).

Таким образом, треугольник AMN и треугольник BKL - равны по двум сторонам и углу между этими сторонами. Значит, они равны полностью, и их третьи стороны равны между собой.

Таким образом, MN = KL.

б) Покажем, что длина отрезка МО равна длине отрезка КО.
Для этого воспользуемся свойством равнобедренных треугольников. В равнобедренном треугольнике биссектриса угла, направленного к основанию, является осью симметрии треугольника и делит основание на две равные части.

Рассмотрим треугольник АОК и треугольник ВОК. Они равны, так как у них углы при основании равны (угол К = угол К, угол ВОК = угол АОК, так как KL и MN - перпендикуляры к сторонам равнобедренного треугольника ABC), и у них биссектрисы этих углов совпадают (поскольку это перпендикуляры к сторонам равнобедренного треугольника ABC).

Таким образом, треугольник АОК и треугольник ВОК - равны по двум углам и биссектрисе этих углов. Значит, они равны полностью, и их третьи стороны равны между собой.

Таким образом, МО = КО.

Таким образом, мы доказали, что MN = KL и МО = КО в равнобедренном треугольнике ABC.

Я надеюсь, что ясно объяснил и решил задачу. Если у тебя возникли еще вопросы, не стесняйся задавать их!