С какой из планет выгоднее покидать Солнечную Систему: с Меркурия или Юпитера? (Орбитальная скорость Меркурия 50 км/с, Юпитера — 13 км/с).
Обоснуйте ответ численным расчётом.

ответ: Выгоднее покидать Солнечную Систему стартуя с Меркурия

Объяснение:   В задаче даны не все нужные для решения параметры. Надо еще знать массу Солнца, расстояния от Солнца до планет и вторые космические скорости для планет.

Дано:

Масса Солнца Мс = 1,9885*10^30

Среднее расстояние от Солнца до Меркурия Sм = 57 909 227 км =5,7909227*10^10 м

Средняя орбитальная скорость Меркурия Uм = 47,36 км/с

Вторая космическая скорость для Меркурия U2м = 4,25 км/с

Среднее расстояние от Солнца до Юпитера Sю = 778547200 км = 7,785472*10^11 м

Средняя орбитальная скорость Юпитера Uю = 13 км/с

Вторая космическая скорость для Юпитера U2ю = 59,5 км/с

   Чтобы покинуть Солнечную систему космический аппарат надо разогнать до второй космической скорости для Солнца на том расстоянии, с которого стартует аппарат.

   Вторая космическая скорость для Солнца зависит от расстояния до Солнца. Чем дальше от Солнца, тем меньше для него вторая космическая скорость.

   Вторая космическая скорость для Солнца на расстоянии Меркурия U2с-м = √(2G*Mc/Sм) = √2*6,674*10^-11 * 1,9885*10^30/5,7909227*10^10 = 67701,3 м/с ≈ 67,7 км/с

   Чтобы с Меркурия покинуть Солнечную систему надо разогнать аппарат до скорости V3 = 67,7 – 47,36 = 20,34 км/с,  и направить полет в сторону движения Меркурия по орбите. При этом скорость аппарата относительно Солнца станет равной Uм + V3 = 47,36 + 20,34  = 67,7 км/с.

   Вторая космическая скорость для Солнца на расстоянии Юпитера U2с-ю = √(2G*Mc/Sю) = √2*6,674 *10^-11 * 1,9885*10^30/7,785472*10^11 = 18465 м/с ≈ 18,5 км/с. Но эта скорость мала, чтобы преодолеть притяжение Юпитера. Чтобы от Юпитера покинуть Солнечную систему надо аппарат разогнать до второй космической скорости для Юпитера, т.е. до 59,5 км/с.

   Такая скорость почти в три раза больше скорости, с которой надо стартовать от Меркурия. Следовательно, выгоднее покидать Солнечную систему стартуя с Меркурия.