Прямая у + 2х - 4 = 0 пересекает окружность (х - 4)2 + + (у - 2)2 = 16. Найдите длину хорды, которая отсекается этой окружностью от прямой

решение задания по геометрии
 

Добрый день, уважаемый ученик!

Чтобы найти длину хорды, которая отсекается окружностью от прямой, нам нужно рассмотреть, как прямая и окружность пересекаются и какую хорду они образуют.

Давайте начнем с того, что найдем точки пересечения прямой и окружности. Для этого решим систему уравнений, состоящую из уравнения прямой и уравнения окружности.

Уравнение прямой дано в виде у + 2х - 4 = 0. Чтобы найти точки пересечения, подставим это уравнение в уравнение окружности:

(х - 4)² + (у - 2)² = 16.

Заменим у на -(2х - 4), и получим:

(х - 4)² + (-(2х - 4) - 2)² = 16.

Раскроем скобки:

(х - 4)² + (-2х + 2 - 2)² = 16.

Упростим:

(х - 4)² + (-2х)² = 16.

Раскроем квадраты:

х² - 8х + 16 + 4х² = 16.

Соберем все члены уравнения:

5х² - 8х = 0.

Факторизуя это уравнение, получаем:

х(5х - 8) = 0.

Отсюда видно, что х = 0 или х = 8/5.

Подставим найденные значения х в уравнение прямой, чтобы найти соответствующие значения у:

- Если х = 0, то у + 2(0) - 4 = 0, откуда у = 4.

- Если х = 8/5, то у + 2(8/5) - 4 = 0. Воспользуемся десятичным представлением 8/5, которое равно 1.6. Подставим это значение:

у + 2(1.6) - 4 = 0,

у + 3.2 - 4 = 0,

у - 0.8 = 0,

у = 0.8.

Итак, мы получили две точки пересечения прямой и окружности: (0, 4) и (8/5, 0.8).

Теперь давайте найдем расстояние между этими двумя точками, чтобы найти длину хорды. Для этого воспользуемся формулой расстояния между двумя точками:

d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²),

где (x₁, y₁) и (x₂, y₂) - координаты точек.

Подставим координаты точек (0, 4) и (8/5, 0.8) в эту формулу:

d = √((8/5 - 0)² + (0.8 - 4)²).

Раскроем скобки:

d = √((64/25) + (3.6)²).

d = √(64/25 + 12.96).

d = √(64/25 + 12.96).

d = √(384/25).

Теперь возведем в квадрат числитель и знаменатель дроби:

d = √((16²⋅4/25⋅4)).

d = √(256/25).

d = 16/5.

Итак, длина хорды, которую отсекает окружность от прямой, равна 16/5, или 3.2.

Надеюсь, ответ был понятен и доступен для понимания. Если остались вопросы, не стесняйтесь задавать их. Удачи!