Прямая MA проходит через точку А плоскости α и образует с этой плоскостью угол φ0≠90°. Докажите, что φ0 является наименьшим из всех

Решение. Обозначим буквой Н основание перпендикуляра, проведенного из точки М к плоскости α, и рассмотрим произвольную прямую р в плоскости α, проходящую через точку А и отличную от прямой АН (рис. 57). Угол между прямыми AM и р обозначим через φ и докажем, что φ>φ0

Для доказательства данного утверждения, нам потребуется использовать свойство перпендикулярности.

Возьмем две плоскости, α и β, и предположим, что наша прямая MA проходит через точку A плоскости α и образует с плоскостью α угол φ0, а также проходит через точку B плоскости β и образует с плоскостью β угол φ1.

Согласно геометрическому свойству, прямая, перпендикулярная плоскости, будет перпендикулярной любой прямой, параллельной плоскости. То есть, если прямые MA и MB перпендикулярны к плоскостям α и β соответственно, то они также будут перпендикулярны друг другу.

Теперь, зная это свойство, давайте предположим, что угол φ1 больше, чем угол φ0. Это означает, что прямая MB наклонена к плоскости β на более крутой угол, чем прямая MA к плоскости α.

Если продолжить прямую MA до пересечения с плоскостью β, получим точку C. Так как прямая MA перпендикулярна к плоскости α, а прямая MC перпендикулярна к плоскости β, то это означает, что MC перпендикулярна и пересекает плоскость α в точке D.

Теперь у нас есть две перпендикулярные прямые, AD и MC, и они пересекаются в точке K. Заметим, что AK является высотой треугольника ACD, а MC является боковой стороной этого треугольника.

Так как AK является высотой, она является самым коротким расстоянием от вершины треугольника ACD до стороны MC. Однако, так как AK находится на прямой MA, она также является высотой из точки А на плоскость α.

Теперь мы имеем две высоты в треугольниках ACD и ABC (в котором BC является продолжение прямой MC). Вспомним основное свойство, что высоты треугольников являются самыми короткими расстояниями от вершин треугольников до соответствующих сторон.

Из этого можно сделать вывод, что высоты AK и BH (где H - точка пересечения высоты BH треугольника ABC с плоскостью α) являются самыми короткими расстояниями от вершин до соответствующих плоскостей.

Но точка H - это пересечение высоты BH треугольника ABC с плоскостью α. Отсюда следует, что BH также является кратчайшим расстоянием от вершины B треугольника ABC до плоскости α.

Итак, мы приходим к выводу, что AK (высота треугольника ACD и одновременно высота из точки А на плоскость α) меньше или равно BH (кратчайшее расстояние от B до плоскости α).

Это означает, что угол φ0 (который образует прямая MA с плоскостью α) является наименьшим углом, так как это угол, при котором прямая MA ближе всего подходит к плоскости α.

Таким образом, доказано, что угол φ0 является наименьшим из всех возможных углов, образованных прямой MA и плоскостью α.