Одним и тем же прибором со средним квадратическим отклонением случайных ошибок измерений равным 40 м произведено пять равноточных измерений расстояния от орудия до цели. Найти доверительный интервал для оценки истинного расстояния а до цели с надежностью 0,95, зная среднее арифметическое результатов измерений = 2000 м. Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.

Для того, чтобы найти доверительный интервал для оценки истинного расстояния а до цели, можно воспользоваться формулой для доверительного интервала с нормальным распределением.

Для начала необходимо определить стандартную ошибку среднего (SE) для данной выборки. Стандартная ошибка среднего может быть найдена по формуле SE = σ/√n, где σ - среднеквадратическое отклонение случайных ошибок измерений, n - количество измерений.

В нашем случае, среднеквадратическое отклонение случайных ошибок измерений равно 40 м, а количество измерений равно 5.
SE = 40/√5 ≈ 17.89 м (округляем до сотых).

Далее, необходимо определить значения статистических квантилей для нормального распределения. Нам известно, что надежность равна 0,95, что означает, что здесь используется двусторонний критерий и соответственно доверительная вероятность в каждом хвосте распределения составляет (1-0,95)/2 = 0,025. Значение статистического квантиля для данной надежности можно найти из таблицы стандартного нормального распределения (Z-таблицы). В нашем случае, значение статистического квантиля равно примерно 1,96.

Теперь мы можем построить доверительный интервал. Доверительный интервал рассчитывается по формуле: Доверительный интервал = среднее ± Z * SE.
В нашем случае, среднее равно 2000 м, Z равно 1,96, а SE равно 17,89 м.

Доверительный интервал = 2000 ± 1,96 * 17,89.
= 2000 ± 35,08.

Получаем, что доверительный интервал для оценки истинного расстояния а до цели составляет от 1964,92 м до 2035,08 м.

Таким образом, с 95% надежностью истинное расстояние а до цели находится в интервале от 1964,92 м до 2035,08 м.