Оцените максимально возможную продолжительность частной фазы прохождения Венеры по диску Солнца, наблюдаемого с Земли. Орбиты Венеры

Если обозначить видимые радиусы Солнца и Венеры как R и r, то угловой размер пути, который Венера пройдет по диску Солнца, составит
 
Для средних значений угловых диаметров Солнца и Венеры этот путь составляет 0.189°. Для решения задачи нужно знать угловую скорость движения Венеры по диску Солнца. Эта скорость является наложением угловых скоростей движения Венеры и Солнца по небу, которые во время прохождения направлены в противоположные стороны. Угловая скорость Солнца равна
 
Здесь T – период обращения Земли по орбите. Угловая скорость Венеры относительно Земли имеет отрицательный знак (Венера движется попятно) и составляет
 
Здесь vV и vE – пространственные скорости Венеры и Земли, а dV и dE – их расстояния от Солнца.  По III закону Кеплера
 
Обозначая отношение dV/dE через a (это есть радиус орбиты Венеры в астрономических единицах), получаем
 
В итоге, угловая скорость Венеры относительно Солнца составляет
 
По модулю это соответствует 1.612°/сутки. Выходит, что максимальная продолжительность частной фазы прохождения Венеры по диску Солнца составляет 0.117 суток или 2.81 часа.