Найти общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка.

или так

Объяснение:

Найти общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка.

y'' + 2y' + 10y = 18e⁻ˣ

Для решения неоднородного диф. уравнения применяем метод метод неопределенных коэффициентов.

Общее решение  y(x) линейного неоднородного дифференциального уравнения равно сумме общего решения y (x) одн соответствующего

однородного уравнения и частного решения  y (x) част исходного неоднородного  уравнения.

                          y(x) = y(х)одн + y(х)част

Найдем решение однородного уравнения

y'' + 2y' + 10y = 0

Составим и решим характеристическое уравнение:

k² + 2k + 10 = 0

k₁ = -1 - 3i                     k₂ = -1 + 3i

Запишем общее решение однородного уравнения

(для корней вида k = a ± b·i общее решение                                                  

y = С₁·eᵃˣ·cos(bx) + C₂·eᵃˣ·sin(bx))

y(х)одн = С₁·e⁻ˣ·cos(3x) + C₂·e⁻ˣ·sin(3x)

Частное решение ищем в виде

s=0 если α+βi не корень характеристического уравнения  

В нашем случае α+βi  = -1 следовательно s=0

Поэтому частное решение ищем в виде

у = А·e⁻ˣ

Вычисляем производные

у' = -А·e⁻ˣ

у" = А·e⁻ˣ

Подставляем в исходное уравнение

               y'' + 2y' + 10y = 18e⁻ˣ

А·e⁻ˣ' - 2А·e⁻ˣ + 10А·e⁻ˣ = 18e⁻ˣ    

                           9А·e⁻ˣ = 18e⁻ˣ

                                  A  = 2

Частное решение

y(х)част = 2e⁻ˣ

Запишем общее решение

y(x) = y(х)одн + y(х)част = С₁·e⁻ˣ·cos(3x) + C₂·e⁻ˣ·sin(3x) + 2e⁻ˣ =

= (С₁·cos(3x) + C₂·sin(3x) + 2)·e⁻ˣ