На стороне ВС параллелограмма ABCD взята точка М. Докажите, что площадь параллелограмма вдвое больше площади треугольника AMD.

решение задания по геометрии
 

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся знания о площади параллелограмма и треугольника, а также о свойствах параллелограмма.

Для начала, давайте введем некоторые обозначения. Пусть стороны параллелограмма AB и BC равны a и b соответственно, а высота опущена из вершины D на сторону BC равна h.

Затем, обозначим точку пересечения диагоналей параллелограмма как точку O. Так как диагонали параллельны и имеют общую точку, то точка O делит диагонали на равные отрезки.

Теперь мы можем обратиться к решению самой задачи.

Доказательство:

1. Площадь параллелограмма ABCD можно выразить как произведение длины одной из его сторон (например, длины стороны AB) на высоту, опущенную на эту сторону (то есть h). То есть S(parallelogram) = a*h.

2. Рассмотрим теперь треугольник AMD. Мы можем выразить его площадь, используя величину основания и соответствующую высоту. В данном случае основание треугольника AMD это сторона AM, а высота это h. То есть S(triangle AMD) = (1/2)*AM*h.

3. Наша задача - доказать, что S(parallelogram) = 2*S(triangle AMD).

4. Заметим, что сторона AM параллелограмма ABCD равна половине диагонали AC, так как точка O делит диагонали пополам. То есть AM = AC/2.

5. Разделим уравнение для площади параллелограмма на уравнение для площади треугольника AMD:
S(parallelogram) / S(triangle AMD) = (a*h) / ((1/2)*AM*h) = (a*h) / ((1/2)*(AC/2)*h) = (a*h) / ((1/2)*(2*AM)*h) = (a*h) / (AM*h) = a / AM.

6. Используя полученное уравнение, мы видим, что S(parallelogram) / S(triangle AMD) = a / AM.

7. Заметим, что a и AM - это противоположные стороны параллелограмма ABCD, а значит, они равны.
Таким образом, S(parallelogram) / S(triangle AMD) = 1.

8. Из пункта 7 следует, что площадь параллелограмма вдвое больше площади треугольника AMD, что и требовалось доказать.

В результате, мы доказали, что площадь параллелограмма вдвое больше площади треугольника AMD, используя свойства параллелограмма и выражения для площади параллелограмма и треугольника.