На рисунке 288 ABCD — параллелограмм. Угол ABC равен 120°, BD = AD, точка К— середина ВС, точка Р— середина CD, периметр ABCD равен 32 см. Найдите КР.

решение к задаче приложено к ответу

Добрый день! Давайте решим задачу по шагам.

1. Рисунок 288 показывает, что ABCD - параллелограмм, то есть противоположные стороны параллельны и равны. Это означает, что AB = CD и BC = AD.

2. В условии задачи сказано, что угол ABC равен 120°. Нам известно, что в параллелограмме противоположные углы равны, следовательно, угол BCD также равен 120°.

3. Мы знаем, что BD = AD и BC = AD. Поскольку BD = AD и углы BCD и ACD равны (они противоположны друг другу), то треугольник BCD равнобедренный.

4. Пусть К - середина BC. Так как BCD - равнобедренный треугольник, то КD будет медианой (делинейной отрезком, соединяющим вершину треугольника с серединой противоположной стороны), а медиана делит основание пополам. То есть, KD = DC/2.

5. По аналогии, точка P - середина CD, и следовательно, PD = DC/2.

6. Поскольку PD = KD, а AD = BD, то треугольник ADR будет равнобедренным.

7. Теперь мы знаем, что треугольники КРА и DBC равны по принципу равных сторон и углов (сторона КР — это сумма сторон КD и DP, а сторона BC — это сумма сторон BD и DC).

8. Поскольку треугольники равны, их боковые стороны пропорциональны. Мы можем записать это в уравнении:
KA/BC = RA/DB

9. Зная, что KA = 1/2 BC и RA = 1/2 DB (поскольку К и P - середины сторон BC и DB соответственно), мы можем заменить эти значения в уравнении:
(1/2 BC)/BC = (1/2 DB)/DB

10. Упрощаем уравнение:
1/2 = 1/2

11. Получили верное равенство. Это означает, что КРА и DBC равны, и следовательно, их периметры также равны.

12. По условию задачи периметр ABCD равен 32 см. Это означает, что сумма длин сторон AB, BC, CD и DA равна 32 см.

13. Но мы знаем, что AB = CD и BC = AD из свойств параллелограмма. Значит, AB + BC = AD + CD = 32 см/2 = 16 см.

14. Так как AD и CD равны, то их сумма равна 16 см. Также, как мы ранее установили, PD = DC/2 = 16 см/2 = 8 см.

15. Но PD также равно KD, поэтому KD = 8 см.

16. Из условия задачи также следует, что KD + DP = KR. Подставим известные значения: 8 см + 8 см = 16 см.

Ответ: КР = 16 см.