На рисунке 130 AB=АС, AP=AQ. Докажите, что: а) треугольник BОС — равнобедренный; б) прямая ОА проходит через середину основания

Решение, а) Поскольку АВ = АС и АР = AQ, то ВР = CQ. Следовательно, треугольники СВР и BCQ равны по первому признаку равенства треугольников (ВР = CQ, сторона ВС у них общая, а углы СВР и BCQ равны как углы при основании равнобедренного треугольника ABC). Поэтому углы В и С треугольника ВОС равны, а значит, этот треугольник — равнобедренный.
б) Из рассуждений, приведенных в части а) решения, следует, что ВО = ОС. Следовательно, треугольники АВО и АСО равны по третьему признаку равенства треугольников. Поэтому луч АО является биссектрисой угла А. Но в равнобедренном треугольнике ABC биссектриса угла А является медианой и высотой. Таким образом, прямая О А проходит через середину основания ВС и перпендикулярна к нему.