На рисунке ∠1 = 70°, ∠DEF= 140°, луч ЕМ — биссектриса угла DEF. Докажите, что CD || ЕМ.

Для доказательства, что CD || EM, мы можем использовать свойство биссектрисы угла.

По определению биссектрисы, она делит угол на два равных угла. В данном случае, мы знаем, что угол DEF равен 140°, поэтому биссектриса луч EM делит его на два равных угла - DЕМ и MEM.

Пусть засечки CD и EM пересекаются в точке X. Мы должны доказать, что линии CD и EM параллельны.

Для начала рассмотрим треугольник CEX. В нем у нас есть два угла - DEX и ЕМС.

Мы уже знаем, что угол DEX = 140°/2 = 70°, так как EM - биссектриса угла DEF.
Изначально нам было дано, что угол 1 = 70°, значит угол DEX = угол 1.

Теперь мы имеем два угла в треугольнике CEX, которые равны друг другу (угол 1 и угол DEX). Если два угла треугольника равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны.

Согласно теореме о подобности треугольников, у них соответственные стороны пропорциональны. То есть отношения длины стороны CE к DX будут равны отношению длины стороны EX к ХС.

Перепишем это в виде пропорции:
CE/DX = EX/ХС

Теперь рассмотрим треугольник CDM. В нем у нас есть два вертикальных угла UDФ и CDX, которые равны между собой.

Мы уже знаем, что угол UDФ = 140°/2 = 70°, так как EM - биссектриса угла DEF.
Изначально нам было дано, что угол 1 = 70°, значит угол UDФ = угол 1.

Теперь у нас есть два вертикальных угла в треугольнике CDM, которые равны друг другу. Согласно свойству вертикальных углов, если две прямые пересекаются, то вертикальные углы, образованные этим пересечением, равны.

Теперь мы знаем, что угол 1 = угол DEX = угол UDФ. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то треугольники равны, причем соответственные стороны у них пропорциональны.

Таким образом, треугольники CEX и CDM равны, а значит отношение длины стороны CD к ДX будет равно отношению длины стороны DM к MC.

Запишем это в виде пропорции:
CD/ДX = DM/MC

Теперь мы имеем две пропорции - CE/DX = EX/ХС и CD/ДX = DM/MC. Обе пропорции содержат отношение CE к CD. Это значит, что отношение длины стороны CE к длине стороны CD будет одинаковым для обоих треугольников.

CE/DX = CD/ДX

Мы можем сократить DX в обоих пропорциях и получить:

CE = CD

Таким образом, мы доказали, что стороны CD и CE равны друг другу, что является условием параллельности. Если две прямые пересекаются и образуют равные углы с третьей прямой, то эти прямые параллельны. В данном случае, луч EM - биссектриса угла DEF и образует равные углы с лучом CD, поэтому можно заключить, что CD || EM.