Может ли механическую работу произвести сила трения покоя?

Может. Показать это можно на следующем примере. На полу железнодорожного вагона стоит груз. Поезд начал двигаться. Груз под действием силы трения, действующей между ним и полом, переместится вместе с вагоном, не двигаясь относительно него. После того как вагон переместится на некоторое расстояние, груз приобретет кинетическую энергию. Эту энергию он, очевидно, приобрел за счет работы, совершенной силой трения покоя