Какой из цилиндров с обьемом 128π см3 имеет наименьшую полную поверхность?

Решение.
Формула нахождения объема цилиндра
V = πr2 h
Поскольку объем цилиндра нам известен, то
πr2  h = 128π
откуда
r2  h = 128
h = 128 /  r2  
Площадь полной поверхности цилиндра равна площади его оснований и площади боковой поверхности. Таким образом, формула площади поверхности цилиндра будет выглядеть следующим образом:   
 S = 2πr2  + 2πrh  
где
πr2 - площадь основания цилиндра (площадь круга)
2πr - длина окружности основания
Подставим значение высоты цилиндра в полученную формулу
S = 2πr2  + 2πrh  
S =  2πr2  + 2πr  * 128 /  r2    
S =  2πr2  + 256π / r
Если представить полученную формулу как функцию площади заданного в задаче цилиндра, то минимальная площадь цилиндра будет достигнута в точке экстремума данной функции. Для нахождения экстремума дифференцируем полученную функцию.
f(r) =  2πr2  + 256π / r
Формулы дифференцирования можно посмотреть в таблице производных. Получим:
f '(r) = 4πr - 256π /  r2  
Поскольку в точке экстремума производная функции равна нулю, приравняем  f '(r) к нулю и решим уравнение.  
4πr - 256π /  r2  = 0
получим
 4πr ( 1 - 64/r ) = 0
откуда
 4πr = 0 или  1 - 64/r = 0  
первый найденный корень уравнения  r = 0 отбрасываем,  
1 - 64/r = 0
r = 64
Откуда  
h = 128 /  r2  
h = 128 / 4096
h = 0.03125 или 1/32
Ответ: минимальная площадь цилиндра будет достигнута при h = 1/32 см, r =64 см