Какие из них роднят нашу страну с Западом (Европой), а какие – с Востоком (Азией)?

Новое название страны отвечало лишь её собственным традициям.
Титул «царь» (пока неофициальный) – это урезанное слово «цезарь», что роднит его с европейской традицией. Но при этом в русских княжествах так называли и хана Золотой Орды, потому есть связь и с азиатскими, татарскими владыками.
Скипетр, скорее всего, пришёл в Россию из Византии (вместе с державой), потому это европейский символ власти.
Держава – древний символ византийских императоров.
Двуглавый орёл известен ещё с древнего Шумера. Он часто использовался в Византии, потому обычно считается, что он пришёл оттуда. Однако сохранились золотоордынские монеты ханов Узбека и Джанибека на которых также отчеканен двуглавый орёл. Потому вопрос спорный.
Рим – европейский город, потому фраза «Москва – третий Рим» – это развитие византийских традиций.
В символах власти России было больше византийского, чем азиатского. Византийские традиции – европейские. Но сама Западная Европа не со всеми ними соглашалась. Например, идея, что Рим перестал быть центром христианского мира, когда перешёл в «латинскую ересь» не могла быть принята ни одной европейской страной того времени.