Функция издержек фирмы - монополиста на продукцию ТС = 0,5Q2 +2Q. Функция спроса на продукцию фирмы: Р = 10- 0,5Q. Определите цену, при которой прибыль фирмы максимальна, и степень ее монопольной власти.

Решение:

Задача решается исходя из условия максимизации прибыли монополиста МС= МR; MC= Q +2; МR = 10-Q. Поэтому Q = 4 шт, Р = 8 ден. ед. Прибыль= ТR – ТС = 32-16 = 16 ден. ед. Монопольная власть оценивается по индексу Лернера: L= (Р-МС)/Р = (8-6)/8 = 0,25 или 25 %. То есть фирма может превысить цену, характерную для свободной конкуренции, на 25%. 

Для определения цены, при которой прибыль фирмы максимальна, мы должны вычислить производную функции прибыли и приравнять её к нулю. Таким образом, найдем производную функции прибыли.

Для начала, у нас есть функция издержек фирмы: C = 0,5Q^2 + 2Q, где С - издержки, а Q - количество производимой продукции.
Также, у нас есть функция спроса на продукцию фирмы: P = 10 - 0,5Q, где P - цена продукции.

Функция прибыли определяется как разница между выручкой (P*Q) и издержками (C):
Profit = P*Q - C

Для нахождения максимальной прибыли, найдем производную функции прибыли по Q и приравняем ее к нулю:
d(Profit)/dQ = d(P*Q - C)/dQ
= d(P*Q)/dQ - d(C)/dQ
= P + Q( dP/dQ) - ( dC/dQ)

Чтобы продолжить, нам нужно найти производные P и C по Q. Давайте начнем с функции спроса:
P = 10 - 0,5Q
Для нахождения dP/dQ, найдем производную по Q:
dP/dQ = -0,5

Теперь найдем производную издержек:
C = 0,5Q^2 + 2Q
Для нахождения dC/dQ, найдем производную по Q:
dC/dQ = 1Q + 2
= Q + 2

Теперь мы можем вернуться к выражению для производной прибыли и приравнять его к нулю:
P + Q( dP/dQ) - ( dC/dQ) = 0
10 - 0,5Q + Q(-0,5) - (Q + 2) = 0
-0,5Q - 0,5Q + 10 - 2 = 0
-1Q + 8 = 0
Q = 8

Мы получили, что Q = 8. Теперь, чтобы найти цену (P), подставим это значение в функцию спроса:
P = 10 - 0,5Q
P = 10 - 0,5(8)
P = 10 - 4
P = 6

Таким образом, цена, при которой прибыль фирмы максимальна, равна 6.

Для определения степени монопольной власти, мы можем использовать формулу монопольной власти:
L = (P - MC) / P
где L - степень монопольной власти, P - цена, MC - предельные издержки.

Мы уже нашли цену (P = 6), осталось определить предельные издержки (MC). Для этого найдем производную функции издержек и подставим значение Q = 8:
MC = dC/dQ
MC = Q + 2
MC = 8 + 2
MC = 10

Теперь, найдем степень монопольной власти:
L = (P - MC) / P
L = (6 - 10) / 6
L = -4 / 6
L = -2/3

Степень монопольной власти равна -2/3.

Итак, цена, при которой прибыль фирмы максимальна, равна 6, а степень ее монопольной власти составляет -2/3.