Если металлическим шарам, имеющим разные диаметры, сообщить равные отрицательные заряды, то будет ли ток в проводе, которым

Да, ток будет направлен от большего шара к меньшему. Направление тока определяется знаком разности потенциалов двух эквипотенциальных поверхностей: ток направлен от большего потенциала к меньшему. В данном случае емкость малого шара меньше, поэтому при равных отрицательных зарядах потенциал малого шара будет меньше, чем потенциал большого