Два искусственных спутника земли имеют орбитальные периоды, различающиеся в 8 раз. чему равно отношение радиусов их орбит?

Для ответа на этот вопрос, нам необходимо знать, что орбитальный период спутника определяется временем, за которое спутник совершает полный оборот вокруг Земли. Орбитальный период зависит от радиуса орбиты и массы планеты.

Пусть Р₁ и Р₂ - периоды первого и второго спутников соответственно.
Также пусть r₁ и r₂ - радиусы их орбит.

Из задачи нам известно, что Период Второго спутника (Р₂) равен 8 разам Периода Первого спутника (Р₁). То есть, Р₂ = 8*Р₁.

Мы также знаем, что период Первого спутника (Р₁) зависит от радиуса орбиты (r₁) и массы Земли (M) по следующему уравнению:

Р₁ = 2π√(r₁³/M)

Аналогично, период Второго спутника (Р₂) зависит от радиуса орбиты (r₂) и массы Земли (M):

Р₂ = 2π√(r₂³/M)

Мы хотим найти отношение радиусов орбит (r₂/r₁).

Для начала, установим соотношение между периодами Первого и Второго спутников (Р₁ и Р₂):

Р₂ = 8*Р₁

Поделим оба выражения на 2π√(M):

Р₂ / (2π√(M)) = 8*Р₁ / (2π√(M))

Теперь возьмем квадрат обоих выражений (чтобы избавиться от корня √(M)):

(Р₂ / (2π√(M)))² = (8*Р₁ / (2π√(M)))²

(Р₂² / (2π)²M) = (8*Р₁² / (2π)²M)

Поскольку мы хотим найти отношение радиусов орбит, то используем соотношение между периодом и радиусом:

Р² / r³ = константа (k)

Теперь перепишем наше уравнение, используя это соотношение:

(8*Р₁² / (2π)²M) = (Р₂² / r₂³)

Поскольку Р₂ = 8*Р₁:

(8*Р₁² / (2π)²M) = ((8*Р₁)² / r₂³)

Мы также хотим найти отношение радиусов орбит, поэтому поделим оба выражения:

((8*Р₁)² / r₂³) / (8*Р₁² / (2π)²M) = (r₂³ / r₁³)

Упрощая:

((8*Р₁)² / r₂³) * ((2π)²M / (8*Р₁²)) = (r₂³ / r₁³)

Теперь упростим левую часть выражения:

((8*Р₁)*(2π)²M / r₂³) * (1 / (8*Р₁)) = (r₂³ / r₁³)

(2π)²M / r₂³ = (r₂³ / r₁³)

Чтобы продолжить упрощение, возьмем кубический корень от обеих частей:

∛((2π)²M / r₂³) = ∛(r₂³ / r₁³)

2π∛(M) / r₂ = r₂ / r₁

Теперь поменяем местами r₂ и r₁:

2π∛(M) / r₁ = r₁ / r₂

Умножим обе части на r₁:

2π∛(M) = (r₁² / r₂)

Теперь решим это уравнение относительно отношения радиусов (r₁/r₂):

(r₁² / r₂) = 2π∛(M)

r₁ / r₂ = √(2π∛(M))

Итак, отношение радиусов орбит равно корню квадратному из 2π∛(M).

В таком виде мы можем представить ответ школьнику!