Два игрока ходят по очереди. Перед началом игры у них есть поровну горошин. Ход состоит в передаче сопернику любого числа горошин.

Во всех случаях победит второй игрок.
а) Когда у игроков по две горошины, первый игрок либо отдаст второму две горошины (на это второй даст ему одну, и у первого не будет ходов), либо отдаст одну. В этом случае второй игрок может отдать ему две горошины, назад получит три, отдаст четыре и победит.
б) Разобьём числа от 1 до 2N на пары: (1; 2), (3; 4), (5; 6), …, (2N-1, 2N). Победит второй игрок, придерживаясь правила: "всякий раз, получив число из некоторой пары, отдавай другое число из той же пары". Докажем, что это верная стратегия. Ясно, что когда все эти парные ходы будут сделаны, у первого игрока не будет возможности сделать очередной ход, т.е. он проиграет. Поэтому достаточно показать, что у второго игрока всегда будет ответный ход. Пусть первый передал второму число x из некоторой пары (x; y). Ясно, что y никто пока не передавал: второй это мог делать только в ответ на ход первого x, а если бы первый ранее передал бы y, то второй тогда же передал бы x. Итак, что же может помешать второму отдать y? Только отсутствие у него нужного количества горошин. Однако, поскольку y≤x+1, а x он только что получил, отдать y второй не сможет только в одном случае – если у него ничего до хода первого игрока не было. Однако, за каждый парный ход у второго количество горошин может уменьшиться максимум на одну, а было у него N, так что 0 у него может быть только после N парных ходов, то есть после окончания игры. Во время же игры такой ситуации сложиться не может. Значит, второй всегда ответит первому и в конце концов победит.