Докажите, что векторы a{x1; y1} и b{x2; y2} коллинеарны тогда и только тогда, когда x1y2 = x2y1.

решение задания по геометрии
 

Для доказательства данного утверждения, что векторы а{x₁; y₁} и b{x₂; y₂} коллинеарны тогда и только тогда, когда x₁y₂ = x₂y₁, мы можем использовать следующий метод:

1. Предположим, что векторы а и b коллинеарны.

Коллинеарные векторы имеют одно и то же направление или противоположное направление. То есть, если вектор а и вектор b коллинеарны, то можно выразить их отношение в виде:

a = kb,

где k - некоторая константа.

Подставим значения координат в эту формулу и получим:

x₁ = kx₂,
y₁ = ky₂.

2. Рассмотрим выражение x₁y₂ - x₂y₁.

x₁y₂ - x₂y₁ = kx₂y₂ - x₂ky₂ = 0.

Таким образом, получается, что x₁y₂ = x₂y₁.

Таким образом, мы доказали, что если векторы а и b коллинеарны, то x₁y₂ = x₂y₁.

3. Предположим, что x₁y₂ = x₂y₁.

Для доказательства обратного утверждения, мы предлагаем воспользоваться противоположным подходом.

Предположим, что x₁y₂ = x₂y₁.

Мы можем выразить k следующим образом:

k = x₁ / x₂ = y₁ / y₂.

То есть, отношение координат x и y вектора а к соответствующим координатам вектора b является постоянным значением k.

Таким образом, мы можем выразить вектор a через вектор b:

a = kb.

Таким образом, получается, что векторы а и b коллинеарны.

4. Заключение.

Мы доказали, что векторы а{x₁; y₁} и b{x₂; y₂} коллинеарны тогда и только тогда, когда x₁y₂ = x₂y₁.

Данное доказательство основано на свойствах коллинеарных векторов и математической операции умножения координат векторов.

Такое развернутое и пошаговое объяснение должно помочь школьнику понять доказательство данного утверждения.