Докажите, что любая прямая, проходящая через центр симметрии прямоугольника, делит его на две равные части.

Любая прямая, проходящая через центр симметрии прямоугольника состоит из течек, симметричных относительно центра симметрии прямоугольника. Для любой точки прямоугольника, симметричная ей точка будет проходить на другом конце прямой, проходящую через нашу точку и центр симметрии прямоугольника и пересекающей прямоугольник в искомой симметричной точке.
Значит, любая прямая, проходящая через центр симметрии прямоугольника, делит его на две фигуры, симметричные относительно центра прямоугольника, а значит, эти фигуры равны

Возьмем прямоугольник ABCD и проведем через его центр симметрии прямую. Раз прямая проведена через центр симметрии то получается, что точка A симметрична точке B относительно точки M, а точка D симметрична точке C относительно точки N, следовательно:
AM = MB;
DN = NC.
Таким образом если прямоугольник AMND развернуть на 180 градусов относительно отрезка MN, то прямоугольник AMND совместится с прямоугольником MBCN и отсюда следует что прямоугольник AMND = прямоугольнику MBCN.