Докажите, что любая прямая, проходящая через центр симметрии фигуры, делит её на две равные части.

прямая, проходящая через центр симметрии фигуры состоит из точек, симметричных относительно этого центра. И сама фигура симметрична относительно центра.
Значит, прямая, проходящая через центр симметрии фигуры делит её на две фигуры, симметричные относительно центра, а значит, эти части равны

Точки A и B называются симметричными относительно точки O, если эти точки A, B и O лежат на одной прямой и точка O является серединой отрезка AB. Таким образом, если через центр симметрии фигуры провести прямую, то между симметричными точками и центром симметрии можно построить два равных отрезка. Например: AO = OB. Такие же равные отрезки можно построить, используя все множество симметричных точек из которых состоит фигура. Следовательно, если одну половину фигуры развернуть на 180 градусов относительно прямой, проходящей через центр симметрии, то первая половина совместится со второй половиной фигуры, а это значит что две половины равны.