Докажите, что из всех треугольников, у которых одна сторона равна a, а другая равна b, наибольшую площадь имеет тот, у которого эти стороны

решение задания по геометрии
 

Для начала, давайте вспомним формулу для вычисления площади треугольника. Площадь треугольника равна половине произведения длины его основания и высоты, опущенной на эту основу.

Для данной задачи, основой треугольника можно считать сторону a, а высотой - расстояние от оставшейся вершины до этой основы.

Мы знаем, что у треугольника стороны a и b. Для удобства будем считать, что a больше b.

Пусть треугольник ABC имеет стороны AB = a, BC = b и CA = c (где c - оставшаяся сторона).

Мы хотим доказать, что треугольник ABC имеет наибольшую площадь среди всех треугольников с фиксированными сторонами a и b.

Сначала рассмотрим треугольник ADC, где основа DC = a. Давайте предположим, что угол BAC больше 90 градусов.

В этом случае, высота BH треугольника ABC будет больше, чем высота HK треугольника ADC (поскольку треугольник ADC находится внутри треугольника ABC).

Теперь мы можем рассмотреть основу DC треугольника ADC и основу BC треугольника ABC. Очевидно, что треугольник ABC имеет большую площадь, чем треугольник ADC, так как их основы равны (основа DC = основе BC = a), а высота треугольника ABC больше.

Таким образом, в случае, когда угол BAC больше 90 градусов, треугольник ABC имеет большую площадь, чем треугольник ADC.

Теперь допустим, что угол BAC меньше или равен 90 градусов.

В этом случае, легко заметить, что высота треугольника ABC (высота BH) всегда больше, чем высота треугольника ADC (высота HK). Это происходит потому, что основа основного треугольника ABC (основа BC = b) длиннее, чем основа треугольника ADC (основа DC = a), и поскольку угол BAC не может быть больше 90 градусов, высота треугольника ABC всегда будет выше.

Таким образом, даже в этом случае, треугольник ABC имеет большую площадь, чем треугольник ADC.

Значит, мы доказали, что треугольник ABC имеет наибольшую площадь среди всех треугольников, у которых одна сторона равна a, а другая равна b.