Докажите, что если две равные окружности пересекаются друг с другом, то любая точка прямой, проходящей через точки пересечения окружностей, одинаково удалена от того и другого центра.

Докажите, что если две равные окружности пересекаются друг с другом, то любая точка прямой, проходящей через точки пересечения окружностей, одинаково удалена от того и другого центра.

Необходимо доказать, что прямая, проходящей через точки пересечения окружностей, является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющего центры двух окружностей.
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
AM = MB, AN = NB так как они являются радиусами своих окружностей. По условию задачи радиусы двух окружностей равны.
MN − сторона треугольников, следовательно, треугольники △AMN и △BMN равны.
Докажем, что △MAC = △MBC:
1. ∠AMC = ∠CMB, так как △AMN и △BMN равны;
2. MC − общая сторона
3. AM = MB, так как △AMN и △BMN равны.
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны, следовательно, △MAC = △MBC.
∠MCB = ∠MCA, так как △MAC = △MBC.
∠ACB = 180°, ∠MCB = ∠MCA = 180° : 2 = 90°, следовательно, прямая MN перпендикулярна отрезку AB и AC = CB, так как △MAC = △MBC, а значит прямая MN является серединным перпендикуляром к отрезку AB.
Любая точка серединного перпендикуляра к отрезку, соединяющего центры двух окружностей, будет равно удалена от центров данных окружностей.