Докажите, что если биссектрисы углов ABC и CBD перпендикулярны, то точки A, B и D лежат на одной прямой

Решение. Задача будет решена, если мы докажем, что угол ABD развернутый. Предположим, что это не так. Пусть ВМ и BN — биссектрисы углов ABC и CBD. По условию ZMBN = 90°. Возможны два случая.
а) Луч ВС проходит внутри угла ABD и поэтому делит этот угол на два угла: ABC и CBD (рис.37, а). Тогда
ZABC + ZCBD = ZABD,
или
(Zl + Z2) + (Z3 + Z4) = ZABD (см. рис. 37, а).

Но Zl = Z2, Z3 = Z4 и ZABD < 180°, следовательно,
2Z2 + 2Z3 < 180°, или ZMBN = Z2 + Z3 < 90°.
Это неравенство противоречит условию задачи.
б) Луч ВС лежит во внешней области угла ABD (рис. 37, б). В этом случае ZABC + ZCBD > 180°, поэтому (Zl + Z2) + (Z3 + Z4) > > 180°. Так как Zl = Z2 и Z3 = Z4, то ZMBN = Z2 + Z3 > 90°. Это неравенство также противоречит условию задачи.
Таким образом, угол ABD — развернутый и, следовательно, точки А, В и D лежат на одной прямой.